Utilizando a Regra da Cadeia, calcule f^prime(x), sendo
f(x)=raizln xe^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raizln xe^x
ou seja, f(x)=(ln x,e^-x)^1/2.
O conteúdo principal aqui é a Regra da Cadeia, complementada pela Regra do Produto e pelas derivadas básicas de ln x e de e^-x.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=ln x;e^-x
de modo que
f(x)=l(u(x)r)^1/2
Pela Regra da Cadeia,
f'(x)=12l(u(x)r)^-1/2,u'(x) =u'(x)2raizu(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x) usando a Regra do Produto:
u'(x)=(ln x)'e^-x+ln x,(e^-x)' =1xe^-x+ln xl(-e^-xr) =e^-xl(1x-ln xr)

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em
f'(x)=u'(x)2raizu(x)
temos
f'(x) =e^-xl(1x-ln xr) 2raizln x,e^-x =e^-x2e^-x/2raizln x;l(1x-ln xr)
Como tfrac1x-ln x=tfrac1-xln xx e e^-x/e^-x/2=e^-x/2,
f'(x) =e^-x/22raizln x;1-xln xx =1-xln x2,x,raizln x;e^x/2

Resposta

f'(x) =1 - xln x2,x,raizln x;e^x/2

Exercícios relacionados