Prove que, em uma mesma circunferência ou em circunferências de mesmo raio, cordas congruentes são equidistantes do centro.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre que, em uma mesma circunferência ou em circunferências de mesmo raio, duas cordas congruentes ficam à mesma distância do centro. O conteúdo que vamos usar é geometria de círculos: ao traçar a perpendicular do centro a uma corda, obtém-se um triângulo retângulo em que o ponto de pé da perpendicular é o ponto médio da corda. Em seguida, aplicamos congruência de triângulos retângulos pelo critério hipotenusa-cateto.
Passo 2
Considere uma circunferência de centro
e raio
, e sejam
e
duas cordas com
Marque em
o ponto
e em
o ponto
de tal forma que
Por propriedade de circunferência, essas perpendiculares passam pelos pontos médios das cordas, logo
Passo 3
Agora olhe os triângulos retângulos
e
. Neles temos:
- A hipotenusa é igual em ambos, pois
- Um cateto também é igual, pois
Pelo critério de congruência HL (hipotenusa-cateto), segue que
Passo 4
Da congruência dos triângulos retângulos vem que os outros catetos são iguais, isto é,
Isso prova que a distância do centro
até a corda
é a mesma que até a corda
. Se as cordas estão em circunferências diferentes de mesmo raio, repetimos o mesmo argumento em cada circunferência e obtemos a mesma igualdade de distâncias.
Resposta
Traçando-se as perpendiculares do centro às cordas, formam-se triângulos retângulos com hipotenusa igual ao raio e cateto igual à metade da corda. Cordas congruentes têm metade do comprimento igual, logo esses triângulos são congruentes por hipotenusa-cateto, de onde segue que as distâncias do centro até cada corda são iguais.