Prove que, em uma mesma circunferência ou em circunferências de mesmo raio, cordas congruentes são equidistantes do centro.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que, em uma mesma circunferência ou em circunferências de mesmo raio, duas cordas congruentes ficam à mesma distância do centro. O conteúdo que vamos usar é geometria de círculos: ao traçar a perpendicular do centro a uma corda, obtém-se um triângulo retângulo em que o ponto de pé da perpendicular é o ponto médio da corda. Em seguida, aplicamos congruência de triângulos retângulos pelo critério hipotenusa-cateto.

Passo 2

Considere uma circunferência de centro O e raio R, e sejam AB e CD duas cordas com
AB = CD
Marque em AB o ponto M e em CD o ponto N de tal forma que
OM perp AB e ON perp CD
Por propriedade de circunferência, essas perpendiculares passam pelos pontos médios das cordas, logo
AM = MB = tfrac12,AB e CN = ND = tfrac12,CD

Passo 3

Agora olhe os triângulos retângulos triang<= OMA e triang<= ONC. Neles temos:
  1. A hipotenusa é igual em ambos, pois
OA = OC = R
  1. Um cateto também é igual, pois
AM = tfrac12,AB = tfrac12,CD = CN
Pelo critério de congruência HL (hipotenusa-cateto), segue que
triang<= OMA cong triang<= ONC

Passo 4

Da congruência dos triângulos retângulos vem que os outros catetos são iguais, isto é,
OM = ON
Isso prova que a distância do centro O até a corda AB é a mesma que até a corda CD. Se as cordas estão em circunferências diferentes de mesmo raio, repetimos o mesmo argumento em cada circunferência e obtemos a mesma igualdade de distâncias.

Resposta

Traçando-se as perpendiculares do centro às cordas, formam-se triângulos retângulos com hipotenusa igual ao raio e cateto igual à metade da corda. Cordas congruentes têm metade do comprimento igual, logo esses triângulos são congruentes por hipotenusa-cateto, de onde segue que as distâncias do centro até cada corda são iguais.

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