(4) Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede a derivada de
em relação a , ou seja calcular . - A expressão contém
, portanto a função está definida para . Observação: a forma final da derivada terá termos com no denominador, então a fórmula que vamos obter vale para (no passo seguinte a gente comenta isso).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática da regra da cadeia):
- Se uma função é composta, ou seja
, então a derivada é
Explicando devagar: calcula-se a derivada da função externa
avaliada na função interna
e multiplica-se pela derivada da função interna
.
- No nosso caso a função externa é a raiz quadrada (pode escrever como potência): se
, então
Aqui
é a variável genérica da função externa; depois a substituímos por
.
Passo 3
Identificar externa e interna para aplicar a regra da cadeia:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Pelo que foi explicado,
Substituindo
explicitamente:
Passo 4
Calcular
, ou seja a derivada de
:
- Derivada de
é . - Agora derivar
. Trata-se de outra composição: se , então
- Derivada de
é . Portanto
- Juntando,
Passo 5
Substituir
na expressão da derivada:
Isto já é uma forma correta da derivada, obtida diretamente pela regra da cadeia e pela derivação das partes internas.
Passo 6
Simplificar a expressão algébrica para uma forma mais compacta (passo a passo):
- Colocar o parêntese numa única fração com denominador comum
:
- Agora dividir por
é multiplicar por , então o denominador total fica . Assim obtemos a forma simplificada:
Passo 7
Observações finais e domínio:
- A expressão final envolve
no denominador, logo a fórmula simplificada vale para . - A função original está definida em
, mas a derivada tem singularidade em (tende a quando ), portanto não é finita em .