(4) Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
\frac{d}{d x}\left(\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede a derivada de \displaystyle \sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}} em relação a x, ou seja calcular \dfrac{d}{dx}\!\left(\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}\right).
  • A expressão contém \sqrt{x}, portanto a função está definida para x\ge 0. Observação: a forma final da derivada terá termos com \sqrt{x} no denominador, então a fórmula que vamos obter vale para x>0 (no passo seguinte a gente comenta isso).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática da regra da cadeia):
  • Se uma função é composta, ou seja h(x)=f(g(x)), então a derivada é
h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Explicando devagar: calcula-se a derivada da função externa f avaliada na função interna g(x) e multiplica-se pela derivada da função interna g'(x).
  • No nosso caso a função externa é a raiz quadrada (pode escrever como potência): se f(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}, então
f'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Aqui u é a variável genérica da função externa; depois a substituímos por u=g(x).

Passo 3

Identificar externa e interna para aplicar a regra da cadeia:
  • Função externa: f(u)=\sqrt{u}.
  • Função interna: u(x)=x^{2}+e^{\sqrt{x}}.
    Pelo que foi explicado,
\frac{d}{dx}\!\left(\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}\right) = f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u'(x).
Substituindo u(x) explicitamente:
\frac{d}{dx}\!\left(\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}\;u'(x).

Passo 4

Calcular u'(x), ou seja a derivada de u(x)=x^{2}+e^{\sqrt{x}}:
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Agora derivar e^{\sqrt{x}}. Trata-se de outra composição: se v(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}, então
v'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad\text{(válido para \(x>0\))}.á
  • Derivada de e^{v(x)} é e^{v(x)}\cdot v'(x). Portanto
\frac{d}{dx}\!\big(e^{\sqrt{x}}\big)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.
  • Juntando,
u'(x)=2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Substituir u'(x) na expressão da derivada:
\frac{d}{dx}\!\left(\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}\left(2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\right).
Isto já é uma forma correta da derivada, obtida diretamente pela regra da cadeia e pela derivação das partes internas.

Passo 6

Simplificar a expressão algébrica para uma forma mais compacta (passo a passo):
  • Colocar o parêntese numa única fração com denominador comum 2\sqrt{x}:
2x = \frac{4x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}, \qquad 2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}=\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.
  • Agora dividir por 2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}} é multiplicar por \dfrac{1}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}, então o denominador total fica 2\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}=4\sqrt{x}\,\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}. Assim obtemos a forma simplificada:
\frac{d}{dx}\!\left(\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}\right) = \frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}.

Passo 7

Observações finais e domínio:
  • A expressão final envolve \sqrt{x} no denominador, logo a fórmula simplificada vale para x>0.
  • A função original está definida em x\ge 0, mas a derivada tem singularidade em x=0 (tende a +\infty quando x\to 0^+), portanto não é finita em x=0.

Resposta

\displaystyle \frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}},\quad x>0

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