Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função abaixo:
F(x)=\cos (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=\cos\bigl(\operatorname{sen}x\bigr)
usando a regra da função composta (cadeia). Vamos identificar a função externa e a interna e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=\operatorname{sen}x
como a função interna, e
f(u)=\cos u
como a função externa. Logo, F(x)=f\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Derivamos separadamente cada parte:
– A derivada de u(x)=\operatorname{sen}x é
u'(x)=\cos x.
– A derivada de f(u)=\cos u em relação a u é
f'(u)=-\sin u.

Passo 4

Pela regra da cadeia, a derivada de F(x)=f(u(x)) é
F'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 5

Substituindo u(x)=\operatorname{sen}x, f'(u)=-\sin u e u'(x)=\cos x, obtemos
F'(x)=-\sin\bigl(\operatorname{sen}x\bigr)\,\cos x.

Resposta

F'(x)=-\sin\bigl(\operatorname{sen}x\bigr)\,\cos x.

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