Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função abaixo:
\mathrm{F}(\mathrm{x})=(\mathrm{f}(\mathrm{x}))^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x) = \bigl(f(x)\bigr)^{n},\quad n\in\mathbb{N}^{*},
ou seja, uma função composta em que a “externa” é g(u)=u^{n} e a “interna” é u=f(x). Para isso, vamos usar a regra da cadeia junto com a regra do poder.

Passo 2

A regra do poder diz que, para g(u)=u^{n}, temos
g'(u)=n\,u^{n-1}.
Pela regra da cadeia, a derivada de F(x)=g\bigl(f(x)\bigr) é
F'(x)=g'\bigl(f(x)\bigr)\,\cdot f'(x) =n\,\bigl(f(x)\bigr)^{n-1}\,f'(x).

Resposta

F'(x)=n\,\bigl(f(x)\bigr)^{n-1}\,f'(x).

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