Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função abaixo:
\mathrm{F}(\mathrm{x})=\operatorname{sen} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \quad\left(\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \mathrm{F}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}\bigl(x^{n}\bigr), com n\in\mathbb{N}^*.
Para isso vamos usar a regra da função composta (chain rule), sabendo que a derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u)\cdot u' e a derivada de x^{n} é n\,x^{n-1}.

Passo 2

Identificamos a “camada” externa e a interna:
  • Função externa: g(u)=\operatorname{sen}(u), cuja derivada é
g'(u)=\cos(u).
  • Função interna: u(x)=x^{n}, cuja derivada é
u'(x)=n\,x^{n-1}.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
\mathrm{F}'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\cos\bigl(x^{n}\bigr)\,\bigl(n\,x^{n-1}\bigr).

Resposta

\mathrm{F}'(x)=n\,x^{n-1}\cos\bigl(x^{n}\bigr).

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