Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função:
Passo 1
O enunciado dá a função
com
(ou seja,
é inteiro positivo) e pede: encontrar a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está escrita como
, que é a mesma coisa que . - O índice
é um parâmetro inteiro positivo, portanto a resposta deve valer para qualquer .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): tratar
como uma composição de duas funções:
- função interna
; - função externa
, onde .
A razão para escolher esse método: quando uma função é uma potência de outra (como
), o jeito mais direto e seguro é aplicar a regra da composição (regra da cadeia), que diz que se
então
Vou usar essa fórmula e explicar cada termo com calma.
Passo 3
Derivadas das funções internas e externas (aqui explico as regras usadas):
- Derivada da função externa
. Pela regra da potência (válida para inteiro positivo), a derivada é
Explicação curta da regra da potência: para
multiplica-se por
e diminui-se o expoente em
; é a regra básica para polinômios/potências.
- Derivada da função interna
. Conhece-se a derivada da função cosseno:
(Se quiser, essa última é uma identidade padrão das derivadas de funções trigonométricas; pode ser memorizada ou obtida pela definição limite.)
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
- Substitui-se
na derivada da externa . Isso dá
- Multiplica-se pelo
que já encontramos:
- Simplificando o sinal:
Passo 5
Interpretação e exemplos rápidos para fixar (faça isso na prova para checar):
- Relembre: sempre tratar
como antes de derivar. Primeiro deriva-se a potência (externa), depois multiplica-se pela derivada do cosseno (interna). - Exemplos:
- Se
: (caso trivial). - Se
: , que também pode ser escrito . - Se
: .
- Se
Dica de prova: ao ver
na prova, escreva mentalmente
, aplique imediatamente a cadeia: "trago o
para frente, reduzo expoente e multiplico por
".
Passo 6
Encerramento e incentivo: pronto — a derivada ficou numa forma simples e geral, válida para qualquer
. Lembre-se: prática com alguns valores de
ajuda a fixar o procedimento. Vai dar certo — é só repetir esses passos na prova com calma!