Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função:
F(x)=\cos ^{n} x\left(n \in N^{*}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \;F(x)=\cos^{n}x\; com n\in\mathbb{N}^{*} (ou seja, n é inteiro positivo) e pede: encontrar a derivada F'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está escrita como \cos^{n}x, que é a mesma coisa que (\cos x)^{n}.
  • O índice n é um parâmetro inteiro positivo, portanto a resposta deve valer para qualquer n\in\mathbb{N}^{*}.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): tratar \;F(x)=(\cos x)^{n}\; como uma composição de duas funções:
  • função interna \;g(x)=\cos x\;;
  • função externa \;h(u)=u^{n}\;, onde u=g(x).
A razão para escolher esse método: quando uma função é uma potência de outra (como (\cos x)^{n}), o jeito mais direto e seguro é aplicar a regra da composição (regra da cadeia), que diz que se F(x)=h(g(x)) então
F'(x)=h'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Vou usar essa fórmula e explicar cada termo com calma.

Passo 3

Derivadas das funções internas e externas (aqui explico as regras usadas):
  • Derivada da função externa h(u)=u^{n}. Pela regra da potência (válida para n inteiro positivo), a derivada é
h'(u)=n\,u^{\,n-1}.
Explicação curta da regra da potência: para u^n multiplica-se por n e diminui-se o expoente em 1; é a regra básica para polinômios/potências.
  • Derivada da função interna g(x)=\cos x. Conhece-se a derivada da função cosseno:
g'(x) = \frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x.
(Se quiser, essa última é uma identidade padrão das derivadas de funções trigonométricas; pode ser memorizada ou obtida pela definição limite.)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
  1. Substitui-se u=g(x)=\cos x na derivada da externa h'(u)=n u^{n-1}. Isso dá
h'\big(g(x)\big)=n\big(\cos x\big)^{\,n-1}.
  1. Multiplica-se pelo g'(x) que já encontramos:
F'(x)=h'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) = n\big(\cos x\big)^{\,n-1}\cdot\big(-\sin x\big).
  1. Simplificando o sinal:
F'(x) = -\,n\,\big(\cos x\big)^{\,n-1}\sin x.

Passo 5

Interpretação e exemplos rápidos para fixar (faça isso na prova para checar):
  • Relembre: sempre tratar \cos^{n}x como (\cos x)^{n} antes de derivar. Primeiro deriva-se a potência (externa), depois multiplica-se pela derivada do cosseno (interna).
  • Exemplos:
    • Se n=1: \;F(x)=\cos x\Rightarrow F'(x)=-\sin x (caso trivial).
    • Se n=2: \;F(x)=\cos^{2}x\Rightarrow F'(x)=-2\cos x\sin x, que também pode ser escrito \;-\sin(2x).
    • Se n=3: \;F(x)=\cos^{3}x\Rightarrow F'(x)=-3\cos^{2}x\sin x.
Dica de prova: ao ver \cos^{n}x na prova, escreva mentalmente (\cos x)^{n}, aplique imediatamente a cadeia: "trago o n para frente, reduzo expoente e multiplico por -\sin x".

Passo 6

Encerramento e incentivo: pronto — a derivada ficou numa forma simples e geral, válida para qualquer n\in\mathbb{N}^{*}. Lembre-se: prática com alguns valores de n ajuda a fixar o procedimento. Vai dar certo — é só repetir esses passos na prova com calma!

Resposta

-\,n\,\big(\cos x\big)^{\,n-1}\sin x

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