Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dados:
- Pede: esboçar (fazer um desenho qualitativo) do gráfico da função
no espaço . - Dado: a fórmula
. - Informação importante embutida: a raiz quadrada exige que a expressão dentro dela seja não negativa, isto é
. - Objetivos práticos para o esboço: determinar o domínio (onde a superfície existe), os pontos/curvas onde
, cortes importantes (planos , constante, constante), simetrias e comportamento para valores grandes de ou .
Passo 2
Determinar o domínio da função (condição para que a raiz seja real).
A condição é
Isolando
:
- Se
então e como a desigualdade vale sempre. Logo, para todo vale qualquer : a função está definida para todo quando . - Se
então e a condição passa a ser
Portanto o domínio é
Passo 3
Encontrar onde a superfície atinge
(a “fronteira” do domínio no plano
).
Colocar
na definição:
Para
isso dá
Assim a superfície intersecta o plano
exatamente na curva
que tem um cúspide em
. Para
não há pontos com
.
Passo 4
Corte pelo plano
(perfil central ao longo da “linha de crista”).
Tomando
:
Isto só é definido para
, e para
simplifica para
- É uma curva que parte da origem
e cresce para a direita; perto de a inclinação é nula porque e esse derivado vale em . Então a superfície é “plana” (derivada zero) no início da crista sobre .
Passo 5
Cortes por planos
(mostrar formato transversal em relação a
).
Fixe
. A função reduz a uma função de uma variável
:
- Se
então e . Essa é uma curva com um mínimo em de valor ; para grandes a curva se aproxima de (comportamento assintótico). - Se
então e que só é definida para ; nesta situação a seção inicia em quando e cresce para maiores. Em resumo: para as seções são dois ramos começando numa (nas duas pontas e ).
Geometricamente: para
as seções transversais são “U” com mínimo acima do plano
; para
as seções são dois ramos que começam na linha onde a superfície toca
.
Passo 6
Curvas de nível (níveis
) — úteis para esboçar projeções no plano
.
Fixe
. Então
Isto existe quando
, i.e.
- Para
recuperamos a curva da borda vista antes. - Para
as curvas de nível são dois ramos simétricos em , definidos para até um certo valor máximo . À medida que cresce, o ramo direito avança para valores maiores de .
Passo 7
Comportamento assintótico e crescimento para valores grandes.
- Para
com fixo, tem-se
Ou seja, para
grandes a superfície aproxima-se das duas “planícies”
(na prática: a seção em
grande parece com duas faces inclinadas com inclinação 1 em relação ao eixo
).
- Para
com fixo, domina o termo e
que cresce superlinear em
. Assim para grandes
a superfície sobe rapidamente.
Passo 8
Simetrias e características geométricas para ajudar o desenho.
- Simetria em
: . Logo a superfície é simétrica em relação ao plano . - Não é simétrica em
. - A superfície é sempre
. - Há uma “crista” ao longo de
dada por . - Para
existe uma região proibida em torno de (buraco), e a superfície aparece apenas para maiores do que a curva limite .
Passo 9
Pontos e exemplos numéricos para guiar o esboço manual (valores fáceis).
-
. -
. -
. -
. -
da borda: então . -
não está no domínio porque .
Passo 10
Instruções concretas para esboçar à mão (passo a passo rápido para o lápis):
- Desenhe o plano
e marque a curva de borda no plano : para (cúspide em ). Essa é a projeção das interseções . - Para
, desenhe a crista sobre dada por (curva que parte horizontalmente em e sobe para a direita). - Em vários
fixe e desenhe as seções : são curvas com mínimo em (valor ) e que se aproximam de para grandes. - Em vários
fixe e desenhe as seções: dois ramos começando quando em e subindo à medida que aumenta. - Use a simetria em
para copiar a metade positiva para a negativa. - Somente valores
aparecem — sombreie levemente a face para indicar “elevação”.
Resposta
Domínio:
.
Interseção com
: curva
para
(cúspide em
).
Perfil em
:
para
(crista que parte da origem).
Seções
constante:
(se
, mínimo em
); se
aparecem dois ramos iniciando em
quando
.
Curvas de nível
:
, definidas para
.
Simetrias e assíntotas: simétrica em
; para
tem
; para
tem
.
Esses elementos bastam para traçar um esboço: uma superfície não-negativa, simétrica em
, que toca
numa curva em
, tem uma crista em
e aproxima-se de
para
grandes.