Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=\sqrt{4 x^{3}+y^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dados:
  • Pede: esboçar (fazer um desenho qualitativo) do gráfico da função f(x,y)=\sqrt{4x^{3}+y^{2}} no espaço (x,y,z).
  • Dado: a fórmula f(x,y)=\sqrt{4x^{3}+y^{2}}.
  • Informação importante embutida: a raiz quadrada exige que a expressão dentro dela seja não negativa, isto é \;4x^{3}+y^{2}\ge 0.
  • Objetivos práticos para o esboço: determinar o domínio (onde a superfície existe), os pontos/curvas onde z=0, cortes importantes (planos y=0, x= constante, y= constante), simetrias e comportamento para valores grandes de x ou y.

Passo 2

Determinar o domínio da função (condição para que a raiz seja real).
A condição é
4x^{3}+y^{2}\ge 0.
Isolando y^{2}:
y^{2}\ge -4x^{3}.
  • Se x\ge 0 então -4x^{3}\le 0 e como y^{2}\ge 0 a desigualdade vale sempre. Logo, para todo x\ge 0 vale qualquer y: a função está definida para todo y quando x\ge 0.
  • Se x<0 então -4x^{3}>0 e a condição passa a ser
|y|\ge \sqrt{-4x^{3}}.
Portanto o domínio é
\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\in\mathbb{R}\}\\ \cup\\ \{(x,y)\mid x<0,\; |y|\ge \sqrt{-4x^{3}}\}.

Passo 3

Encontrar onde a superfície atinge z=0 (a “fronteira” do domínio no plano z=0).
Colocar z=0 na definição:
0=\sqrt{4x^{3}+y^{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad 4x^{3}+y^{2}=0.
Para x\le 0 isso dá
y^{2}=-4x^{3}\quad\Longrightarrow\quad y=\pm 2(-x)^{3/2}\quad\text{(válido para \(x\le 0\)).}á
Assim a superfície intersecta o plano z=0 exatamente na curva
\{(x,y,0)\mid x\le 0,\; y=\pm 2(-x)^{3/2}\},
que tem um cúspide em (0,0,0). Para x>0 não há pontos com z=0.

Passo 4

Corte pelo plano y=0 (perfil central ao longo da “linha de crista”).
Tomando y=0:
z=\sqrt{4x^{3}}.
Isto só é definido para x\ge 0, e para x\ge 0 simplifica para
z=2x^{3/2}.
  • É uma curva que parte da origem (0,0,0) e cresce para a direita; perto de x=0 a inclinação é nula porque \dfrac{dz}{dx}=3\sqrt{x} e esse derivado vale 0 em x=0. Então a superfície é “plana” (derivada zero) no início da crista sobre y=0.

Passo 5

Cortes por planos x=\text{constante} (mostrar formato transversal em relação a y).
Fixe x=a. A função reduz a uma função de uma variável y:
z(y)=\sqrt{4a^{3}+y^{2}}.
  • Se a\ge 0 então 4a^{3}=C\ge 0 e z(y)=\sqrt{y^{2}+C}. Essa é uma curva com um mínimo em y=0 de valor z_{\min}=\sqrt{C}; para |y| grandes a curva se aproxima de |y| (comportamento assintótico).
  • Se a<0 então 4a^{3}=-D<0 e z(y)=\sqrt{y^{2}-D} que só é definida para |y|\ge\sqrt{D}; nesta situação a seção inicia em z=0 quando |y|=\sqrt{D} e cresce para |y| maiores. Em resumo: para x<0 as seções são dois ramos começando numa z=0 (nas duas pontas +y e -y).
Geometricamente: para x\ge 0 as seções transversais são “U” com mínimo acima do plano z=0; para x<0 as seções são dois ramos que começam na linha onde a superfície toca z=0.

Passo 6

Curvas de nível (níveis z=c) — úteis para esboçar projeções no plano xy.
Fixe z=c\ge 0. Então
c=\sqrt{4x^{3}+y^{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}=c^{2}-4x^{3}.
Isto existe quando 4x^{3}\le c^{2}, i.e.
x\le \left(\frac{c^{2}}{4}\right)^{1/3}.
  • Para c=0 recuperamos a curva da borda y^{2}=-4x^{3} vista antes.
  • Para c>0 as curvas de nível são dois ramos simétricos em y, definidos para x até um certo valor máximo x_{\max}=(c^{2}/4)^{1/3}. À medida que c cresce, o ramo direito avança para valores maiores de x.

Passo 7

Comportamento assintótico e crescimento para valores grandes.
  • Para |y|\to\infty com x fixo, tem-se
z=\sqrt{y^{2}+4x^{3}}=|y|\sqrt{1+\frac{4x^{3}}{y^{2}}}=|y|+\mathcal{O}\!\left(\frac{1}{|y|}\right).
Ou seja, para |y| grandes a superfície aproxima-se das duas “planícies” z=|y| (na prática: a seção em y grande parece com duas faces inclinadas com inclinação 1 em relação ao eixo y).
  • Para x\to +\infty com y fixo, domina o termo 4x^{3} e
z\sim 2x^{3/2},
que cresce superlinear em x. Assim para grandes x>0 a superfície sobe rapidamente.

Passo 8

Simetrias e características geométricas para ajudar o desenho.
  • Simetria em y: f(x,-y)=f(x,y). Logo a superfície é simétrica em relação ao plano y=0.
  • Não é simétrica em x.
  • A superfície é sempre z\ge 0.
  • Há uma “crista” ao longo de y=0,\;x\ge 0 dada por z=2x^{3/2}.
  • Para x<0 existe uma região proibida em torno de y=0 (buraco), e a superfície aparece apenas para |y| maiores do que a curva limite y=\pm 2(-x)^{3/2}.

Passo 9

Pontos e exemplos numéricos para guiar o esboço manual (valores fáceis).
  • (0,0)\mapsto z=0.
  • (1,0)\mapsto z=\sqrt{4}=2.
  • (0,1)\mapsto z=1.
  • (1,1)\mapsto z=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx 2{,}236.
  • (-1,2) da borda: 4(-1)^{3}+2^{2}=-4+4=0 então z=0.
  • (-1,1) não está no domínio porque 4(-1)^{3}+1=-3<0.

Passo 10

Instruções concretas para esboçar à mão (passo a passo rápido para o lápis):
  1. Desenhe o plano xy e marque a curva de borda no plano z=0: y=\pm 2(-x)^{3/2} para x\le 0 (cúspide em (0,0)). Essa é a projeção das interseções z=0.
  2. Para x\ge 0, desenhe a crista sobre y=0 dada por z=2x^{3/2} (curva que parte horizontalmente em x=0 e sobe para a direita).
  3. Em vários x>0 fixe e desenhe as seções z=\sqrt{4x^{3}+y^{2}}: são curvas com mínimo em y=0 (valor z_{\min}=2x^{3/2}) e que se aproximam de z=|y| para |y| grandes.
  4. Em vários x<0 fixe e desenhe as seções: dois ramos começando quando |y|=\sqrt{-4x^{3}} em z=0 e subindo à medida que |y| aumenta.
  5. Use a simetria em y para copiar a metade positiva para a negativa.
  6. Somente valores z\ge 0 aparecem — sombreie levemente a face para indicar “elevação”.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\mid x\ge 0,\;y\in\mathbb{R}\}\cup\{(x,y)\mid x<0,\;|y|\ge \sqrt{-4x^{3}}\}.
Interseção com z=0: curva \;y=\pm 2(-x)^{3/2} para x\le 0 (cúspide em (0,0,0)).
Perfil em y=0: \;z=2x^{3/2} para x\ge 0 (crista que parte da origem).
Seções x= constante: \;z=\sqrt{y^{2}+4a^{3}} (se a\ge 0, mínimo em y=0); se a<0 aparecem dois ramos iniciando em z=0 quando |y|=\sqrt{-4a^{3}}.
Curvas de nível z=c: \;y^{2}=c^{2}-4x^{3}, definidas para x\le (c^{2}/4)^{1/3}.
Simetrias e assíntotas: simétrica em y; para |y|\to\infty tem z\sim |y|; para x\to+\infty tem z\sim 2x^{3/2}.
Esses elementos bastam para traçar um esboço: uma superfície não-negativa, simétrica em y, que toca z=0 numa curva em x\le 0, tem uma crista em y=0,x\ge 0 e aproxima-se de z=|y| para |y| grandes.

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