Determine a área de uma esfera, sendo 2304 \pi \mathrm{~cm}^{3} o seu volume.

Passo 1

O enunciado dá o volume de uma esfera e pede a sua área. Dados e pedido, claramente listados:
  • Dado: o volume V da esfera vale V=2304\pi\\ \mathrm{cm}^3.
  • Pedido: determinar a área da superfície da esfera A (em \mathrm{cm}^2).

Passo 2

As fórmulas que vamos usar e o que cada símbolo significa:
  • Fórmula do volume de uma esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
onde r é o raio da esfera e V é o volume.
  • Fórmula da área da superfície de uma esfera:
A=4\pi r^{2},
onde A é a área da superfície e r é o mesmo raio.
Observação: o objetivo é encontrar A, mas para isso primeiro precisamos achar r a partir de V.

Passo 3

Isolar r^{3} a partir da fórmula do volume. Começo escrevendo a fórmula do volume e substituindo o valor dado de V:
\frac{4}{3}\pi r^{3}=2304\pi.
Agora vou isolar r^{3}. Primeiro divido ambos os lados por \pi (isso é válido porque \pi\neq0):
\frac{4}{3} r^{3}=2304.
Em seguida multiplico ambos os lados por \tfrac{3}{4} para deixar r^{3} sozinho:
r^{3}=2304\cdot\frac{3}{4}.

Passo 4

Calcular o produto numérico \;2304\cdot\frac{3}{4}\; de forma clara e sem calculadora:
  • Dividir 2304 por 4: 2304\div4=576 (porque 4\cdot576=2304).
  • Multiplicar o resultado por 3: 576\cdot3=1728.
    Logo
r^{3}=1728.

Passo 5

Extrair a raiz cúbica de r^{3}=1728. Procuramos um número inteiro r tal que r^{3}=1728. Observa-se que
12\cdot12\cdot12=144\cdot12=1728,
portanto
r=12\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calcular a área usando A=4\pi r^{2} e o valor de r encontrado. Primeiro calcular r^{2}:
r^{2}=12^{2}=144.
Agora aplicar na fórmula da área:
A=4\pi\cdot144.
Fazer a multiplicação 4\cdot144:
4\cdot144=576.
Portanto
A=576\pi\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 7

Checagem rápida de consistência (opcional para a prova): unidades estão corretas — área em \mathrm{cm}^{2} — e valores são numéricos inteiros simples, o que é um bom sinal de que não houve erro algébrico.

Resposta

576\pi\\ \mathrm{cm}^{2}

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