Determine a área de uma esfera, sendo
o seu volume.
Passo 1
O enunciado dá o volume de uma esfera e pede a sua área. Dados e pedido, claramente listados:
- Dado: o volume
da esfera vale . - Pedido: determinar a área da superfície da esfera
(em ).
Passo 2
As fórmulas que vamos usar e o que cada símbolo significa:
- Fórmula do volume de uma esfera:
onde
é o raio da esfera e
é o volume.
- Fórmula da área da superfície de uma esfera:
onde
é a área da superfície e
é o mesmo raio.
Observação: o objetivo é encontrar , mas para isso primeiro precisamos achar
a partir de
.
Observação: o objetivo é encontrar
Passo 3
Isolar
a partir da fórmula do volume. Começo escrevendo a fórmula do volume e substituindo o valor dado de
:
Agora vou isolar
. Primeiro divido ambos os lados por
(isso é válido porque
):
Em seguida multiplico ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 4
Calcular o produto numérico
de forma clara e sem calculadora:
- Dividir
por : (porque ). - Multiplicar o resultado por
: .
Logo
Passo 5
Extrair a raiz cúbica de
. Procuramos um número inteiro
tal que
. Observa-se que
portanto
Passo 6
Calcular a área usando
e o valor de
encontrado. Primeiro calcular
:
Agora aplicar na fórmula da área:
Fazer a multiplicação
:
Portanto
Passo 7
Checagem rápida de consistência (opcional para a prova): unidades estão corretas — área em
— e valores são numéricos inteiros simples, o que é um bom sinal de que não houve erro algébrico.