Utilizando a Regra de L’Hôpital, determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A expressão é uma potência em que a base é \left(e^{x}+x\right) e o expoente é \frac{1}{x}.
  • Quando x\to 0 a base tende a e^{0}+0=1 e o expoente tende a \pm\infty dependendo de como x se aproxima de 0, então o tipo de indeterminação é do tipo 1^{\infty}.
  • Precisamos manipular a expressão para transformar essa indeterminação em algo onde possamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Transformação padrão para limites da forma 1^{\infty}: tomar o logaritmo natural da expressão e trabalhar com o limite do logaritmo. Para isso, primeiro justifico que podemos tomar o logaritmo para x suficientemente próximo de 0:
Usando a expansão em séries (ou a desigualdade e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+\cdots\ge 1+x), temos
e^{x}+x \ge 1+x+x=1+2x.
Para |x|<\tfrac{1}{2} temos 1+2x>0, logo e^{x}+x>0 em um intervalo ao redor de 0. Assim o logaritmo natural está bem definido perto de 0 e podemos definir
L=\lim_{x\to 0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}.
Tomando logaritmo,
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x}.
Agora reduzimos o problema a calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x}.

Passo 3

Verifico o tipo de indeterminação do quociente \dfrac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x}.
Ao substituir x=0 no numerador: \ln\!\big(e^{0}+0\big)=\ln 1=0. No denominador: x\to 0 0. Portanto temos 0/0, que é exatamente o caso onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (quando o limite de f/g 0/0 ou \infty/\infty, e as derivadas existem, então \lim f/g = \lim f'/g' quando este último existir).
Vou aplicar a Regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador.

Passo 4

Calcule as derivadas necessárias, passo a passo.
Numerador: seja f(x)=\ln\!\big(e^{x}+x\big). Pela regra da cadeia e soma,
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln\!\big(e^{x}+x\big)=\frac{1}{e^{x}+x}\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{x}+x\big) =\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.
Denominador: g(x)=x tem derivada g'(x)=1.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x},
desde que o limite à direita exista.

Passo 5

Avalio o limite obtido substituindo x=0 (agora não há indeterminação):
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}=\frac{e^{0}+1}{e^{0}+0}=\frac{1+1}{1+0}=2.
Logo \ln L=2.

Passo 6

Volto da transformação logarítmica ao valor do limite original: se \ln L=2, então
L=e^{2}.
Isso conclui o cálculo do limite.

Resposta

e^{2}

Exercícios relacionados