Utilizando a Regra de L’Hôpital, determine os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A expressão é uma potência em que a base é
e o expoente é . - Quando
a base tende a e o expoente tende a dependendo de como se aproxima de 0, então o tipo de indeterminação é do tipo . - Precisamos manipular a expressão para transformar essa indeterminação em algo onde possamos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Transformação padrão para limites da forma
: tomar o logaritmo natural da expressão e trabalhar com o limite do logaritmo. Para isso, primeiro justifico que podemos tomar o logaritmo para
suficientemente próximo de
:
Usando a expansão em séries (ou a desigualdade
), temos
Para
temos
, logo
em um intervalo ao redor de
. Assim o logaritmo natural está bem definido perto de
e podemos definir
Tomando logaritmo,
Agora reduzimos o problema a calcular
.
Passo 3
Verifico o tipo de indeterminação do quociente
.
Ao substituir
no numerador:
. No denominador:
dá
. Portanto temos
, que é exatamente o caso onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (quando o limite de
dá
ou
, e as derivadas existem, então
quando este último existir).
Vou aplicar a Regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador.
Passo 4
Calcule as derivadas necessárias, passo a passo.
Numerador: seja
. Pela regra da cadeia e soma,
Denominador:
tem derivada
.
Pela Regra de L’Hôpital,
desde que o limite à direita exista.
Passo 5
Avalio o limite obtido substituindo
(agora não há indeterminação):
Logo
.
Passo 6
Volto da transformação logarítmica ao valor do limite original: se
, então
Isso conclui o cálculo do limite.