Utilizando a Regra de L’Hôpital, determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{2 \sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{2\sqrt{x}}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é \ln x.
  • A função no denominador é 2\sqrt{x}.
  • O ponto de interesse é x\to +\infty.
O que é pedido: calcular o valor do limite quando x tende a +\infty.

Passo 2

Verificar o tipo de indeterminação antes de aplicar qualquer técnica. À medida que x\to +\infty temos
\ln x \to +\infty e \sqrt{x}\to +\infty, portanto a expressão \dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}} apresenta a forma indeterminada \dfrac{+\infty}{+\infty}. Essa é uma das formas em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (se as hipóteses forem satisfeitas).

Passo 3

Recordando a Regra de L’Hôpital (explicação didática):
  • A Regra de L’Hôpital diz que, se temos duas funções f(x) e g(x) diferenciáveis em um intervalo aberto (exceto possivelmente no ponto de interesse) e se ao nos aproximarmos do ponto de interesse obtemos uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}, então, sob condições técnicas, vale
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty).
  • Aqui f(x)=\ln x e g(x)=2\sqrt{x}. Ambas são diferenciáveis para x>0. A indeterminação é \dfrac{\infty}{\infty}. Logo podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias (vou fazer devagar e explicar cada passo).
Derivada do numerador:
  • A derivada de \ln x em relação a x é
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}.
Explicação: a função logaritmo natural cresce lentamente e sua taxa de variação instantânea é 1/x.
Derivada do denominador:
  • Primeiro escrevo \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • Então 2\sqrt{x}=2x^{1/2}.
  • A derivada de x^{1/2} é \tfrac{1}{2}x^{-1/2} (regra da potência). Multiplicando pelo 2 do fator externo:
\frac{d}{dx}\big(2\sqrt{x}\big)=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Explicação: regra da potência diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aqui n=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicar a Regra de L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{2\sqrt{x}} =\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}.

Passo 6

Simplificar o quociente das derivadas passo a passo (faça isso na prova sem calculadora):
\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\frac{1}{x}\cdot\frac{\sqrt{x}}{1}=\frac{\sqrt{x}}{x}.
Agora note que \dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{x^{1/2}}{x^{1}}=x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
Portanto
\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}.

Passo 7

Calcular \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
Raciocínio: quando x\to +\infty, \sqrt{x}\to +\infty. O recíproco de uma quantidade que tende a +\infty tende a 0. Logo
\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0.
(Mais formalmente, para x grande, \sqrt{x} é grande; portanto sua inversa é pequena e tende a zero.)

Passo 8

Concluir usando a Regra de L’Hôpital: como o limite do quociente das derivadas existe e vale 0, o limite original também vale 0. Também podemos interpretar intuitivamente: \sqrt{x} cresce muito mais rápido que \ln x, então a razão tende a zero — a aplicação de L’Hôpital confirmou isso de forma rigorosa.

Resposta

0

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