Utilizando a Regra de L’Hôpital, determine os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto de interesse é
.
O que é pedido: calcular o valor do limite quando
tende a
.
Passo 2
Verificar o tipo de indeterminação antes de aplicar qualquer técnica. À medida que
temos
e
, portanto a expressão
apresenta a forma indeterminada
. Essa é uma das formas em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (se as hipóteses forem satisfeitas).
Passo 3
Recordando a Regra de L’Hôpital (explicação didática):
- A Regra de L’Hôpital diz que, se temos duas funções
e diferenciáveis em um intervalo aberto (exceto possivelmente no ponto de interesse) e se ao nos aproximarmos do ponto de interesse obtemos uma indeterminação do tipo ou , então, sob condições técnicas, vale
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
).
- Aqui
e . Ambas são diferenciáveis para . A indeterminação é . Logo podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias (vou fazer devagar e explicar cada passo).
Derivada do numerador:
- A derivada de
em relação a é
Explicação: a função logaritmo natural cresce lentamente e sua taxa de variação instantânea é
.
Derivada do denominador:
- Primeiro escrevo
. - Então
. - A derivada de
é (regra da potência). Multiplicando pelo do fator externo:
Explicação: regra da potência diz que
. Aqui
.
Passo 5
Aplicar a Regra de L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
Passo 6
Simplificar o quociente das derivadas passo a passo (faça isso na prova sem calculadora):
Agora note que
.
Portanto
Portanto
Passo 7
Calcular
.
Raciocínio: quando
,
. O recíproco de uma quantidade que tende a
tende a
. Logo
(Mais formalmente, para
grande,
é grande; portanto sua inversa é pequena e tende a zero.)
Passo 8
Concluir usando a Regra de L’Hôpital: como o limite do quociente das derivadas existe e vale
, o limite original também vale
. Também podemos interpretar intuitivamente:
cresce muito mais rápido que
, então a razão tende a zero — a aplicação de L’Hôpital confirmou isso de forma rigorosa.
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