Utilizando a Regra de L’Hôpital, determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\ln x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln x}.
Informações dadas:
\;x\to+\infty; \; numerador x tende a \;+\infty; \; denominador \ln x também tende a \;+\infty. Não há outras condições escondidas.

Passo 2

Identificamos o tipo de indeterminação: como numerador e denominador tendem ambos a \;+\infty, a forma é \;\infty/\infty,. Essa é exatamente uma das situações em que a Regra de L’Hôpital pode ser usada, desde que as hipóteses dela sejam satisfeitas (vou explicar e verificar isso no próximo passo).

Passo 3

Enunciado (versão usada): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança para a direita de algum ponto (ou para x grandes) e \lim f(x)=\lim g(x)=\pm\infty (ou 0), e g'(x)\neq0 perto daí, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existe (ou é \pm\infty). Agora verifico as hipóteses para f(x)=x e g(x)=\ln x:
  • Ambas são diferenciáveis em (0,+\infty).
  • Para x\to+\infty temos f(x)\to+\infty e g(x)\to+\infty.
  • g'(x)=\dfrac{1}{x} é diferente de zero para x>0.
    Logo as hipóteses estão satisfeitas e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Calculo as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1,
g'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
Agora aplico a regra e considero o limite das derivadas:
\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{1}{1/x}=\;x.
Aqui usei que dividir por \tfrac{1}{x} é o mesmo que multiplicar por x.

Passo 5

Agora tomo o limite resultante:
\lim_{x\to+\infty} x = +\infty.
Pelo resultado da Regra de L’Hôpital, isso implica
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln x}=+\infty.
Intuição rápida: x cresce muito mais rápido que \ln x, então a razão cresce sem limite.

Resposta

+\infty

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