Utilizando a Regra de L’Hôpital, determine os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
;
numerador
tende a
;
denominador
também tende a
. Não há outras condições escondidas.
Passo 2
Identificamos o tipo de indeterminação: como numerador e denominador tendem ambos a
, a forma é
,. Essa é exatamente uma das situações em que a Regra de L’Hôpital pode ser usada, desde que as hipóteses dela sejam satisfeitas (vou explicar e verificar isso no próximo passo).
Passo 3
Enunciado (versão usada): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança para a direita de algum ponto (ou para
grandes) e
(ou
), e
perto daí, então
quando o limite do lado direito existe (ou é
). Agora verifico as hipóteses para
e
:
- Ambas são diferenciáveis em
. - Para
temos e . -
é diferente de zero para .
Logo as hipóteses estão satisfeitas e podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Calculo as derivadas:
Agora aplico a regra e considero o limite das derivadas:
Aqui usei que dividir por
é o mesmo que multiplicar por
.
Passo 5
Agora tomo o limite resultante:
Pelo resultado da Regra de L’Hôpital, isso implica
Intuição rápida:
cresce muito mais rápido que
, então a razão cresce sem limite.