Utilizando a Regra de L’Hôpital, determine os seguintes limites:
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A função em estudo é
. - O ponto de aproximação é
. - Ao substituir diretamente:
e , então a forma é do tipo indeterminado .
Não vamos resolver nada ainda; só identificamos que é uma indeterminação do tipo.
Passo 2
Transformação útil: tomar o logaritmo para eliminar a potência variável. Isso é comum quando a base e o expoente dependem de
. Defina
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (isso é válido para
, aqui
para
próximo de
):
Agora o problema de limite de potência virou limite de produto. Nosso objetivo será calcular
; depois aplicamos exponencial para recuperar
.
Passo 3
Análise do produto
:
- Quando
, . - Quando
, .
Portanto a expressão é do tipo, uma indeterminação. Para aplicar a Regra de L’Hôpital precisamos de uma forma ou . Reescrevemos o produto como quociente:
pois
. Agora, quando
,
e
, temos a forma
— adequada para usar L’Hôpital.
Passo 4
Enunciado (em palavras) da Regra de L’Hôpital que vamos usar: se
e
(ou ambos 0), e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), então
quando o limite à direita existir (ou for
). Vamos aplicar isto a
Passo 5
Calcule as derivadas do numerador e do denominador (explicando cada passo):
- Numerador:
. Pela regra da cadeia,
- Denominador:
. A derivada é
Agora aplicamos L’Hôpital:
Passo 6
Simplificação da razão das derivadas (faça devagar para poder reproduzir na prova):
Recordando que
, temos
Então
Agora substituímos o limite facilmente: quando
,
e
, portanto
Passo 7
Interpretando o resultado: encontramos
Como
e
, aplicamos a função exponencial contínua para obter o limite de
:
Intuição rápida: apesar da base indo para
e do expoente indo para
, a combinação faz com que a potência tenda a
.