Utilizando a Regra de L’Hôpital, determine os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\operatorname{sen} x)^{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} (\operatorname{sen} x)^{\operatorname{tg} x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função em estudo é y=(\operatorname{sen} x)^{\operatorname{tg} x}.
  • O ponto de aproximação é x\to 0^{+}.
  • Ao substituir diretamente: \operatorname{sen} x \to 0^{+} e \operatorname{tg} x \to 0, então a forma é do tipo indeterminado 0^{0}.
    Não vamos resolver nada ainda; só identificamos que é uma indeterminação do tipo 0^{0}.

Passo 2

Transformação útil: tomar o logaritmo para eliminar a potência variável. Isso é comum quando a base e o expoente dependem de x. Defina
y=(\operatorname{sen} x)^{\operatorname{tg} x}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (isso é válido para y>0, aqui y>0 para x próximo de 0^{+}):
\ln y = \operatorname{tg} x \cdot \ln(\operatorname{sen} x).
Agora o problema de limite de potência virou limite de produto. Nosso objetivo será calcular \lim_{x\to0^{+}}\ln y; depois aplicamos exponencial para recuperar y.

Passo 3

Análise do produto \operatorname{tg} x\cdot \ln(\operatorname{sen} x):
  • Quando x\to 0^{+}, \operatorname{tg} x \to 0.
  • Quando x\to 0^{+}, \ln(\operatorname{sen} x)\to \ln(0^{+})=-\infty.
    Portanto a expressão é do tipo 0\cdot(-\infty), uma indeterminação. Para aplicar a Regra de L’Hôpital precisamos de uma forma \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}. Reescrevemos o produto como quociente:
\ln y = \frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\cot x},
pois \cot x = \frac{1}{\tan x}. Agora, quando x\to 0^{+}, \ln(\operatorname{sen} x)\to -\infty e \cot x\to +\infty, temos a forma \tfrac{-\infty}{+\infty} — adequada para usar L’Hôpital.

Passo 4

Enunciado (em palavras) da Regra de L’Hôpital que vamos usar: se \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty e \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty (ou ambos 0), e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty). Vamos aplicar isto a
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\cot x}.

Passo 5

Calcule as derivadas do numerador e do denominador (explicando cada passo):
  • Numerador: f(x)=\ln(\operatorname{sen} x). Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{1}{\operatorname{sen} x}\cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x)=\frac{\operatorname{cos} x}{\operatorname{sen} x}=\cot x.
  • Denominador: g(x)=\cot x. A derivada é
g'(x)=-\csc^{2} x = -\frac{1}{\operatorname{sen}^{2} x}.
Agora aplicamos L’Hôpital:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\cot x} = \lim_{x\to0^{+}}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to0^{+}}\frac{\cot x}{-\,\dfrac{1}{\operatorname{sen}^{2} x}}.

Passo 6

Simplificação da razão das derivadas (faça devagar para poder reproduzir na prova):
\frac{\cot x}{-\,\dfrac{1}{\operatorname{sen}^{2} x}} = -\,\cot x \cdot \operatorname{sen}^{2} x.
Recordando que \cot x=\dfrac{\operatorname{cos} x}{\operatorname{sen} x}, temos
-\,\cot x \cdot \operatorname{sen}^{2} x = -\,\frac{\operatorname{cos} x}{\operatorname{sen} x}\cdot \operatorname{sen}^{2} x = -\,\operatorname{cos} x \cdot \operatorname{sen} x.
Então
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\cot x} = \lim_{x\to0^{+}}\bigl(-\operatorname{cos} x\cdot \operatorname{sen} x\bigr).
Agora substituímos o limite facilmente: quando x\to0^{+}, \operatorname{cos} x\to 1 e \operatorname{sen} x\to 0, portanto
\lim_{x\to0^{+}}\bigl(-\operatorname{cos} x\cdot \operatorname{sen} x\bigr) = -1\cdot 0 = 0.

Passo 7

Interpretando o resultado: encontramos
\lim_{x\to0^{+}}\ln y = 0.
Como y=(\operatorname{sen} x)^{\operatorname{tg} x} e \ln y \to 0, aplicamos a função exponencial contínua para obter o limite de y:
\lim_{x\to0^{+}} y = \lim_{x\to0^{+}} e^{\ln y} = e^{0} = 1.
Intuição rápida: apesar da base indo para 0 e do expoente indo para 0, a combinação faz com que a potência tenda a 1.

Resposta

1

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