Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
h(x)=x^{2}+5 x+1

Passo 1

O enunciado dá a função \;h(x)=x^{2}+5x+1\; e pede para calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar \;h'(x)\;. As informações relevantes são:
  • A função é uma soma de três termos: \;x^{2}, \;5x e \;1.
  • Queremos a derivada em relação à variável \;x.

Passo 2

Vamos usar regras básicas de derivação que são aplicáveis termo a termo. Apresento as fórmulas e explico cada símbolo:
\text{(Regra da soma)}\quad \frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
Aqui \;f(x) e \;g(x) são quaisquer funções; a derivada da soma é a soma das derivadas.
\text{(Regra da potência)}\quad \frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1},ê
onde \;n é um número real constante e \;x é a variável. Essa fórmula diz que para uma potência de \;x, você multiplica pela potência e diminui o expoente em 1.
\text{(Derivada de constante)}\quad \frac{d}{dx}\text{(c)}=0,
onde \;c é uma constante (não depende de \;x). A derivada é zero porque constantes não mudam quando \;x varia.
\text{(Constante multiplicando)}\quad \frac{d}{dx}\big(a\cdot f(x)\big)=a\cdot\frac{d}{dx}f(x),
onde \;a é constante. Ou seja, constants saem da derivada.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo à função \;h(x)=x^{2}+5x+1:
  1. Derivada de \;x^{2}: use a regra da potência com \;n=2.
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2\,x^{2-1}=2x.
  1. Derivada de \;5x: aqui \;5x=5\cdot x. Use a constante multiplicando e a regra da potência com \;n=1 (ou lembrando que a derivada de \;x é \;1).
\frac{d}{dx}\big(5x\big)=5\cdot\frac{d}{dx}(x)=5\cdot 1=5.
  1. Derivada de \;1: é uma constante.
\frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 4

Somando as derivadas dos três termos (regra da soma):
h'(x)=2x+5+0.
Simplificando:
h'(x)=2x+5.

Resposta

\;h'(x)=2x+5

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