Dê um exemplo em cada caso.
Função que não é derivável em x=0.

Passo 1

Você pediu: "Dê um exemplo em cada caso. Função que não é derivável em \,x=0\,".
Vou apresentar vários exemplos que falham em ser deriváveis em \,0\, por razões diferentes — assim você vê os padrões que caem na prova. As situações que vou cobrir são: (i) função com descontinuidade em 0, (ii) função contínua em 0 mas com canto (derivadas laterais distintas), (iii) função contínua em 0 com tangente vertical (derivada tende a infinito), (iv) função contínua em 0 mas com oscilações que impedem o limite do quociente. Não se preocupe — vou mostrar passo a passo por que, em cada caso, a derivada em \,0\, não existe.

Passo 2

Primeiro, recorde rápido e claro: o que significa dizer que uma função f é derivável em \,0\,. A definição prática é:
f'\!(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
existe e é finito. Se esse limite não existe (ou é \pm\infty), então f não é derivável em \,0. Duas observações úteis que usamos sempre:
  • Se f não é contínua em 0, então não pode ser derivável em 0 (derivabilidade implica continuidade).
  • Às vezes calculamos as derivadas laterais:
f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h},\qquad f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
Se f'_+(0) e f'_-(0) existem mas são diferentes, a derivada não existe. Se um deles não existe (por divergência ou oscilações), também não existe a derivada.

Passo 3

Escolho a função degrau (Heaviside) como exemplo:
f(x)=\begin{cases} 0,&x<0,\\[4pt] 1,&x\ge 0. \end{cases}
Verificação passo a passo:
  • Primeiro note que f(0)=1 (pela definição acima).
  • Observe que \lim_{x\to0^-}f(x)=0 e \lim_{x\to0^+}f(x)=1. Como os limites laterais são diferentes, \lim_{x\to0}f(x) não existe, logo f não é contínua em 0.
  • Como derivabilidade implica continuidade, concluímos que f não é derivável em \,0.
Dica de prova rápida na prova: basta apontar a descontinuidade — não precisa calcular o quociente.]

Passo 4

Função clássica:
f(x)=|x|.
Verificação:
  • Temos f(0)=0 e \lim_{x\to0}f(x)=0, então f é contínua em 0.
  • Calcule os quocientes laterais:
\lim_{h\to0^+}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h}=1,
\lim_{h\to0^-}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1.
  • Como f'_+(0)=1 e f'_-(0)=-1 são diferentes, o limite total \lim_{h\to0}\frac{|h|-0}{h} não existe. Portanto f não é derivável em 0.
Interpretação geométrica: há um “canto” (sharp corner) no gráfico em x=0.

Passo 5

Exemplo clássico:
f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Verificação:
  • f(0)=0 e a função é contínua em 0.
  • Calcule o quociente:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^{1/3}}{h}=h^{-2/3}.
  • Quando h\to0 (tanto h\to0^+ quanto h\to0^-), temos h^{-2/3}\to+\infty. Ou seja, o quociente não tende a um número finito; tende a +\infty.
  • Conclusão: o limite que define f'\!(0) não existe como número finito (é infinito), então f não é derivável em 0. Geometricamente, o gráfico tem tangente vertical em 0.
Observação útil: limites que “disparam” para infinito indicam inclinação vertical; na prova explique que derivada não existe porque não é finita.

Passo 6

Considere
f(x)=\begin{cases} x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right),&x\ne0,\\[6pt] 0,&x=0. \end{cases}
Verificação:
  • Primeiro mostre continuidade: usando desigualdade |\sin t|\le1, temos |x\sin(1/x)|\le|x|\to0 quando x\to0. Assim \lim_{x\to0}f(x)=0=f(0), logo contínua.
  • Agora o quociente do incremental:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h\sin(1/h)}{h}=\sin\!\left(\frac{1}{h}\right).
  • Quando h\to0, \sin(1/h) não tem limite (oscila entre -1 e 1 infinitamente). Portanto o limite que define f'\!(0) não existe.
  • Conclusão: f é contínua em 0 mas não é derivável em 0 por causa das oscilações.
Dica prática: se ao simplificar o quociente você fica com \sin(1/h) ou \cos(1/h), desconfie — provavelmente não há limite.]

Passo 7

  • Regra curta: verifique continuidade primeiro. Se não for contínua, pare — não é derivável.
  • Se for contínua, calcule os quocientes laterais ou tente simplificar \dfrac{f(h)-f(0)}{h}. Se as laterais forem diferentes, ou se o quociente divergir (para \pm\infty) ou oscilar, então não existe derivada.
  • Exemplos prontos que é bom decorar: |x| (canto), x^{1/3} (vertical), x\sin(1/x) (oscilações). E para descontinuidade, uma função em pedaços com salto serve.

Resposta

f_1(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\[4pt]1,&x\ge0,\end{cases}
f_2(x)=|x|
f_3(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}
f_4(x)=\begin{cases}x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right),&x\ne0,\\[6pt]0,&x=0.\end{cases}]

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