Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das funções a seguir.
h(x)=\frac{3}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada de h(x)=\dfrac{3}{x^{2}}.\n
Informações dadas:
  • A função é h(x)=\dfrac{3}{x^{2}}.\n
    O que se pede:
  • Calcular h'(x), a derivada de h em função de x.\n

Passo 2

Primeiro vou reescrever a função numa forma que facilita aplicar as regras de derivação: transformar a divisão por potência em potência com expoente negativo. Usando a regra \dfrac{1}{x^{2}} = x^{-2}, temos\n
h(x)=3\cdot x^{-2}.

Passo 3

Agora lembro duas regras de derivação que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do fator constante: se c é constante e f(x) é uma função, então (c\cdot f(x))' = c\cdot f'(x). Ou seja, posso tirar o 3 para fora da operação de derivar.\n
  • Regra do expoente (power rule): para uma potência x^{n} com n real, (x^{n})' = n\cdot x^{n-1}. Aqui n representa o expoente; por exemplo, (x^{3})' = 3x^{2} e (x^{-2})' = -2x^{-3}.\n
    Essas regras são básicas e muito úteis em prova: a primeira diz que constantes saem da derivada, a segunda diz como baixar o expoente e diminuir 1 no expoente.

Passo 4

Vou aplicar as regras passo a passo à função h(x)=3x^{-2}.\n
Pela regra do fator constante:
h'(x)=3\cdot (x^{-2})'.
Pela regra do expoente, com n=-2:
(x^{-2})' = -2\cdot x^{-3}.
Substituindo na expressão para h'(x):
h'(x)=3\cdot \bigl(-2\cdot x^{-3}\bigr).

Passo 5

Faço a multiplicação das constantes e simplifico a potência:
h'(x)= -6\cdot x^{-3}.
Reescrevendo em forma de fração (mais comum quando a função original era uma divisão):
h'(x)= -\dfrac{6}{x^{3}}.

Resposta

-\dfrac{6}{x^{3}}

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