Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=3 x^{3}-7 x+5

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3 x^{3}-7 x+5
e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes fornecidas: os termos da função são 3x^{3}, -7x e 5. O objetivo é aplicar regras de derivação para obter a expressão de f'(x).

Passo 2

Vou listar as regras de derivação que vou usar (cada fórmula vem com explicação das incógnitas):
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=u'(x)+v'(x)
Aqui u(x) e v(x) são funções quaisquer; a derivada da soma é a soma das derivadas.
\frac{d}{dx}\big(c\cdot u(x)\big)=c\cdot u'(x)
Aqui c é uma constante (número) e u(x) é uma função; podemos puxar constantes para fora da derivada.
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}
Aqui n é um número real fixo; esta é a regra da potência: a derivada de x^{n} é n vezes x elevado a n-1.
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0
Se C é uma constante (número sem x), sua derivada é zero.

Passo 3

Aplicando a linearidade, derivamos termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(3x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(-7x\big)+\frac{d}{dx}\big(5\big).

Passo 4

Derivada do primeiro termo 3x^{3}: uso a regra da constante com a regra da potência.
\frac{d}{dx}\big(3x^{3}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3\cdot(3x^{2})=9x^{2}.
Explicação: primeiro \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2} pela regra da potência; multiplica-se por 3 que é constante.

Passo 5

Derivada do segundo termo -7x:
\frac{d}{dx}\big(-7x\big)=-7\cdot\frac{d}{dx}(x)=-7\cdot 1=-7.
Explicação: \frac{d}{dx}(x)=1, e a constante -7 fica multiplicando.

Passo 6

Derivada do terceiro termo 5 (constante):
\frac{d}{dx}(5)=0.

Passo 7

Agora somo os resultados:
f'(x)=9x^{2}-7+0=9x^{2}-7.

Resposta

f'(x)=9x^{2}-7

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