Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a soma de dois termos:
e . - Não há outras condições explícitas no enunciado.
Passo 2
Determinar o domínio onde faz sentido derivar. Cada termo exige:
-
está definida para . -
está definida para .
A interseção dá o domínio de: para a função como está escrita (soma dos dois termos) ela só existe para . Portanto a derivada será considerada para .
Passo 3
Para aplicar as regras de derivação de forma simples, é prático reescrever cada termo como potência:
Assim
Passo 4
Lembrar as regras que vamos usar (explicando com calma):
- Regra da constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Se
é constante e é diferenciável, então . - Regra da potência (power rule): para um expoente real
, a derivada de é
Aqui
pode ser negativo ou fracionário (desde que estejamos em pontos onde
está definido), então podemos aplicar a regra aos dois termos reescritos acima.
Passo 5
Aplicar as regras termo a termo.
Para o primeiro termo
:
- A constante é
. - A derivada de
pela regra da potência é .
Logo, pela regra da constante,
Para o segundo termo
:
- A constante é
. - A derivada de
é .
Logo
Passo 6
Somando as derivadas dos termos (regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas) obtemos
Passo 7
Passar para uma forma mais familiar usando radicais/raízes, lembrando que
e
. Assim
Essa é a forma simplificada e adequada para colocar na prova. Dica rápida: ambas as formas (
e
) são equivalentes; escolha a que ficar mais limpa no seu rascunho.