Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\frac{2}{x^{2}}+2 \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\frac{2}{x^{2}}+2\sqrt{x}.
Informações dadas:
  • A função é a soma de dois termos: \dfrac{2}{x^{2}} e 2\sqrt{x}.
  • Não há outras condições explícitas no enunciado.

Passo 2

Determinar o domínio onde faz sentido derivar. Cada termo exige:
  • \dfrac{2}{x^{2}} está definida para x\neq 0.
  • \sqrt{x} está definida para x\ge 0.
    A interseção dá o domínio de g: para a função como está escrita (soma dos dois termos) ela só existe para x>0. Portanto a derivada será considerada para x>0.

Passo 3

Para aplicar as regras de derivação de forma simples, é prático reescrever cada termo como potência:
\frac{2}{x^{2}}=2x^{-2},\qquad 2\sqrt{x}=2x^{1/2}.
Assim
g(x)=2x^{-2}+2x^{1/2}.

Passo 4

Lembrar as regras que vamos usar (explicando com calma):
  • Regra da constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Se c é constante e f(x) é diferenciável, então \dfrac{d}{dx}\big[c\cdot f(x)\big]=c\cdot f'(x).
  • Regra da potência (power rule): para um expoente real n, a derivada de x^{n} é
\frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=n x^{n-1}.
Aqui n pode ser negativo ou fracionário (desde que estejamos em pontos onde x^{n} está definido), então podemos aplicar a regra aos dois termos reescritos acima.

Passo 5

Aplicar as regras termo a termo.
Para o primeiro termo 2x^{-2}:
  • A constante é 2.
  • A derivada de x^{-2} pela regra da potência é (-2)x^{-3}.
    Logo, pela regra da constante,
\frac{d}{dx}\big[2x^{-2}\big]=2\cdot(-2)x^{-3}=-4x^{-3}.
Para o segundo termo 2x^{1/2}:
  • A constante é 2.
  • A derivada de x^{1/2} é \tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
    Logo
\frac{d}{dx}\big[2x^{1/2}\big]=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos (regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas) obtemos
g'(x)=-4x^{-3}+x^{-1/2}.

Passo 7

Passar para uma forma mais familiar usando radicais/raízes, lembrando que x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}} e x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}. Assim
g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{4}{x^{3}},\qquad x>0.
Essa é a forma simplificada e adequada para colocar na prova. Dica rápida: ambas as formas ( -4x^{-3}+x^{-1/2} e \dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{4}{x^{3}}) são equivalentes; escolha a que ficar mais limpa no seu rascunho.

Resposta

g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{4}{x^{3}}

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