Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é soma de três termos:
, e . - A função
está definida apenas para . Logo a expressão original e a sua derivada só fazem sentido (no domínio real) para .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (cada uma é uma pequena “aula”):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
- Derivada da função exponencial de base fixa
: para qualquer constante ,
Explicação didática: escrever
. Aplicando a regra da cadeia e a derivada de
(que é
), obtemos
onde
é a constante logaritmo natural de
.
- Derivada do logaritmo natural: para
,
Justificativa curta: se
então
. Derivando ambos os lados em relação a
e isolando
chega-se a
.
- Derivada da função seno: para todo
,
Isso é um resultado padrão obtido a partir dos limites que definem as derivadas das funções trigonométricas.
Passo 3
Agora aplicamos a regra da soma termo a termo:
Usando as fórmulas do passo anterior:
Passo 4
Somando os três resultados obtemos a derivada final:
válida para
(por causa de
).
Um exemplo rápido para fixar: em
,
Força aí — a técnica é sempre a mesma: derivar termo a termo e aplicar as regras que recapitulamos.