Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=5^{x}+\ln (x)+\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=5^{x}+\ln(x)+\operatorname{sen}(x)
e pede para calcular a derivada g'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é soma de três termos: 5^{x}, \ln(x) e \operatorname{sen}(x).
  • A função \ln(x) está definida apenas para x>0. Logo a expressão original e a sua derivada só fazem sentido (no domínio real) para x>0.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (cada uma é uma pequena “aula”):
  1. Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se h(x)=f(x)+k(x) então
h'(x)=f'(x)+k'(x).
  1. Derivada da função exponencial de base fixa a>0: para qualquer constante a>0,
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.
Explicação didática: escrever a^{x}=e^{x\ln a}. Aplicando a regra da cadeia e a derivada de e^{u} (que é e^{u}\cdot u'), obtemos
\frac{d}{dx}a^{x}=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=e^{x\ln a}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln a)=e^{x\ln a}\cdot\ln a=a^{x}\ln a,
onde \ln a é a constante logaritmo natural de a.
  1. Derivada do logaritmo natural: para x>0,
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.
Justificativa curta: se y=\ln x então x=e^{y}. Derivando ambos os lados em relação a x e isolando dy/dx chega-se a dy/dx=1/x.
  1. Derivada da função seno: para todo x,
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Isso é um resultado padrão obtido a partir dos limites que definem as derivadas das funções trigonométricas.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da soma termo a termo:
g'(x)=\frac{d}{dx}5^{x}+\frac{d}{dx}\ln(x)+\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x).
Usando as fórmulas do passo anterior:
\frac{d}{dx}5^{x}=5^{x}\ln 5,
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x},
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).

Passo 4

Somando os três resultados obtemos a derivada final:
g'(x)=5^{x}\ln 5+\frac{1}{x}+\cos(x),
válida para x>0 (por causa de \ln(x)).
Um exemplo rápido para fixar: em x=1,
g'(1)=5^{1}\ln 5 + \frac{1}{1} + \cos(1)=5\ln 5 + 1 + \cos(1).
Força aí — a técnica é sempre a mesma: derivar termo a termo e aplicar as regras que recapitulamos.

Resposta

g'(x)=5^{x}\ln 5+\frac{1}{x}+\cos(x)

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