Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada. Informações fornecidas:
- A função é
. - O que se pede: calcular
(a derivada de em função de ). - Domínio implícito:
é a função identidade definida em (ou seja, vale para todo ).
Passo 2
Lembrete do que é derivada (definição): a derivada de uma função
em um ponto
mede a taxa de variação instantânea de
naquele ponto — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico em
. A definição por limite é
Aqui,
é um incremento pequeno na variável
. Se esse limite existir (e for o mesmo vindo pela direita e pela esquerda), dizemos que
é derivável em
e o valor do limite é
.
Passo 3
Aplicando a definição de derivada diretamente em
:
Substituindo
e
, obtemos
Para
vale
. Portanto o limite quando
é
Conclusão a partir da definição: a derivada de
é
para todo
.
Passo 4
Outra maneira — usando regras usuais de derivação (útil para a prova): escrever
como
e aplicar a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para
com
real (em casos elementares,
inteiro), tem-se
Explicando as letras:
é o expoente,
é a variável e
é a derivada. Aplicando com
:
Isso confirma o resultado obtido pelo limite. (Observação:
para todo
; o resultado final
vale para todo
por continuidade da função constante.)
Passo 5
Interpretação prática e generalização útil para prova: funções lineares têm derivada igual ao coeficiente angular. Se
com
constantes, então
- a derivada de
é (porque é vezes a derivada de , que é ); - a derivada de
(constante) é .
Pelo princípio da linearidade da derivada,
No nosso caso
e
, então
. Dica para prova: decorar que a derivada de
é
e que a derivada de uma constante é
; com isso muitas questões rápidas ficam fáceis.
Passo 6
Erros comuns a evitar (rápido):
- Não confunda a derivada com a função original:
e são funções diferentes. - Ao fazer pelo limite, simplifique a fração antes de aplicar o limite (como fizemos:
para ). - Em provas, se pedirem
, responda direto — usar a regra do poder ou a linearidade é suficiente.