Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=x

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede sua derivada. Informações fornecidas:
  • A função é g(x)=x.
  • O que se pede: calcular g'(x) (a derivada de g em função de x).
  • Domínio implícito: g é a função identidade definida em \mathbb{R} (ou seja, vale para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Lembrete do que é derivada (definição): a derivada de uma função f em um ponto x mede a taxa de variação instantânea de f naquele ponto — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico em x. A definição por limite é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui, h é um incremento pequeno na variável x. Se esse limite existir (e for o mesmo vindo pela direita e pela esquerda), dizemos que f é derivável em x e o valor do limite é f'(x).

Passo 3

Aplicando a definição de derivada diretamente em g(x)=x:
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
Substituindo g(x+h)=(x+h) e g(x)=x, obtemos
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}.
Para h\neq 0 vale \dfrac{h}{h}=1. Portanto o limite quando h\to 0 é
g'(x)=\lim_{h\to 0}1=1.
Conclusão a partir da definição: a derivada de g é 1 para todo x.

Passo 4

Outra maneira — usando regras usuais de derivação (útil para a prova): escrever g(x)=x como g(x)=x^{1} e aplicar a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para f(x)=x^{n} com n real (em casos elementares, n inteiro), tem-se
f'(x)=n x^{n-1}.
Explicando as letras: n é o expoente, x é a variável e f'(x) é a derivada. Aplicando com n=1:
g'(x)=\frac{d}{dx}x^{1}=1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^{0}=1.
Isso confirma o resultado obtido pelo limite. (Observação: x^{0}=1 para todo x\neq 0; o resultado final 1 vale para todo x por continuidade da função constante.)

Passo 5

Interpretação prática e generalização útil para prova: funções lineares têm derivada igual ao coeficiente angular. Se f(x)=a x + b com a,b constantes, então
  • a derivada de a x é a (porque é a vezes a derivada de x, que é 1);
  • a derivada de b (constante) é 0.
    Pelo princípio da linearidade da derivada,
\frac{d}{dx}(a x + b)=a.
No nosso caso a=1 e b=0, então g'(x)=1. Dica para prova: decorar que a derivada de x é 1 e que a derivada de uma constante é 0; com isso muitas questões rápidas ficam fáceis.

Passo 6

Erros comuns a evitar (rápido):
  • Não confunda a derivada com a função original: g(x)=x e g'(x)=1 são funções diferentes.
  • Ao fazer pelo limite, simplifique a fração antes de aplicar o limite (como fizemos: \dfrac{h}{h}=1 para h\neq 0).
  • Em provas, se pedirem \dfrac{d}{dx}(ax+b), responda a direto — usar a regra do poder ou a linearidade é suficiente.

Resposta

1

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