Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{9}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{9} e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro da raiz é o número 9.
  • Não há dependência explícita de x na expressão dada (aparentemente uma constante).

Passo 2

Avaliar a expressão numérica \sqrt{9}. A raiz quadrada principal de 9 é o número positivo que, ao quadrado, dá 9. Logo:
\sqrt{9}=3.
Portanto a função pode ser escrita como a função constante
f(x)=3.

Passo 3

Apresentar a regra de derivação que vamos usar e explicá-la. A regra é:
\text{Se } f(x)=c \text{ com } c \text{ constante, então } f'(x)=0.ã
Aqui:
  • f'(x) significa a derivada de f em relação a x.
  • c é um número que não muda quando x varia (constante).
Explicação intuitiva: a derivada mede a taxa de variação (inclinação) da função. Uma função constante não varia quando x muda, então sua taxa de variação é zero.

Passo 4

Demonstração rápida usando a definição do limite (para você ver por que a regra vale). A definição da derivada é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Como f(x)=3 para todo x, temos f(x+h)=3 e f(x)=3. Substituindo:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3-3}{h}=\frac{0}{h}=0\quad\text{para todo }h\neq0.
O limite quando h\to0 de 0 é 0. Portanto
f'(x)=0.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se g(x)=5, então g'(x)=0.
  • Se h(x)=-2, então h'(x)=0.
    Isto reforça que qualquer função que seja um número fixo tem derivada zero.

Resposta

f'(x)=0

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