Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
h(x)=\frac{1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função h(x)=\dfrac{1}{x^{3}}. Informação dada: a função está definida para x\neq 0. O que se quer: encontrar h'(x), a taxa de variação instantânea (derivada) dessa função onde ela for diferenciável.
Observação sobre domínio: como h(x)=\dfrac{1}{x^{3}} envolve divisão por x^{3}, a função não está definida em x=0. Logo qualquer derivada só pode ser considerada para x\neq 0.

Passo 2

Reescrever a função numa forma mais conveniente para diferenciar. A fração pode ser escrita como potência com expoente negativo:
h(x)=x^{-3}

Passo 3

Apresentar a regra que vamos usar (Regra da potência). A regra diz: para uma função f(x)=x^{n}, com n um número inteiro (ou real, em geral), a derivada é
f'(x)=n\,x^{n-1}.
O que isso significa: pega-se o expoente n, multiplica-se a função por esse número e reduz-se o expoente em uma unidade. Aqui x é a variável independente e n é o expoente.

Passo 4

Aplicar a regra da potência a h(x)=x^{-3}. Usando n=-3, temos
h'(x) = (-3)\,x^{-3-1} = -3\,x^{-4}.

Passo 5

Escrever a resposta de forma mais comum (fração), transformando a potência negativa em denominador:
h'(x) = -\dfrac{3}{x^{4}}.

Passo 6

Checagem alternativa (opcional) usando a regra da cadeia/quotient: escrever h(x)= (x^{3})^{-1}. A derivada de u^{-1} em relação a x é -u^{-2}u'. Tomando u=x^{3} com u'=3x^{2}, obtemos
h'(x) = - (x^{3})^{-2}\cdot 3x^{2} = -3 \dfrac{x^{2}}{x^{6}} = -\dfrac{3}{x^{4}},
o mesmo resultado — bom para confirmar.

Passo 7

Conclusão sobre diferenciabilidade: h'(x)=-\dfrac{3}{x^{4}} para todo x\neq 0. Em x=0 nem a função nem a derivada estão definidas.

Resposta

\displaystyle h'(x)=-\dfrac{3}{x^{4}}

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