Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. Informação dada: a função está definida para
. O que se quer: encontrar
, a taxa de variação instantânea (derivada) dessa função onde ela for diferenciável.
Observação sobre domínio: como envolve divisão por
, a função não está definida em
. Logo qualquer derivada só pode ser considerada para
.
Observação sobre domínio: como
Passo 2
Reescrever a função numa forma mais conveniente para diferenciar. A fração pode ser escrita como potência com expoente negativo:
Passo 3
Apresentar a regra que vamos usar (Regra da potência). A regra diz: para uma função
, com
um número inteiro (ou real, em geral), a derivada é
O que isso significa: pega-se o expoente
, multiplica-se a função por esse número e reduz-se o expoente em uma unidade. Aqui
é a variável independente e
é o expoente.
Passo 4
Aplicar a regra da potência a
. Usando
, temos
Passo 5
Escrever a resposta de forma mais comum (fração), transformando a potência negativa em denominador:
Passo 6
Checagem alternativa (opcional) usando a regra da cadeia/quotient: escrever
. A derivada de
em relação a
é
. Tomando
com
, obtemos
o mesmo resultado — bom para confirmar.
Passo 7
Conclusão sobre diferenciabilidade:
para todo
. Em
nem a função nem a derivada estão definidas.