Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=x^{-5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função g(x)=x^{-5}. Informações dadas e úteis:
  • A função é g(x)=x^{-5}.
  • Domínio natural: x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} (pois expoente negativo implica divisão por x^5).
  • Objetivo: encontrar g'(x), a derivada de g em função de x.

Passo 2

O que é derivada, em poucas palavras úteis? A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Formalmente, a derivada de f(x) é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
se esse limite existir. Aqui não precisamos calcular esse limite diretamente para todo caso porque existem regras prontas (as “regras da derivação”) que simplificam muito o trabalho.

Passo 3

Apresentando a regra que vamos usar — a regra do expoente (power rule):
Para qualquer inteiro n (na verdade vale para qualquer real n sob hipóteses mais gerais), a derivada da função x^n é
\frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n\,x^{n-1}.
O que cada símbolo significa:
  • x é a variável independente.
  • n é o expoente (aqui um inteiro, no nosso caso n=-5).
  • x^{n-1} é a potência de x com expoente reduzido em uma unidade.
    Intuição rápida do porquê: usando a definição do limite e a expansão binomial para (x+h)^n quando n é inteiro positivo, o termo linear em h é n x^{n-1}h; ao dividir por h e tomar h\to0 sobram apenas n x^{n-1}. Para expoentes negativos podemos obter o resultado aplicando a regra do recíproco (veja próximo passo).

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso. Temos g(x)=x^{-5}, ou seja n=-5. Usando diretamente a regra do expoente,
g'(x)=(-5)\,x^{-5-1}=(-5)\,x^{-6}.
Se preferir ver com outra abordagem básica para confirmar: escreva g(x)=\dfrac{1}{x^5}. Seja u(x)=x^5, então u'(x)=5x^4. A regra da derivada do recíproco diz
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{u(x)}\right)=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}.
Substituindo u e u',
g'(x)=-\frac{5x^4}{(x^5)^2}=-\frac{5x^4}{x^{10}}=-5x^{-6},
que é o mesmo resultado obtido pela regra do expoente.

Passo 5

Interpretação final e forma alternativa: a derivada é -5x^{-6}, que também pode ser escrita como -\dfrac{5}{x^6}. Lembrar do domínio: esta expressão vale para x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

-5x^{-6}

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