Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. Informações dadas e úteis:
- A função é
. - Domínio natural:
(pois expoente negativo implica divisão por ). - Objetivo: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
O que é derivada, em poucas palavras úteis? A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. Formalmente, a derivada de
é
se esse limite existir. Aqui não precisamos calcular esse limite diretamente para todo caso porque existem regras prontas (as “regras da derivação”) que simplificam muito o trabalho.
Passo 3
Apresentando a regra que vamos usar — a regra do expoente (power rule):
Para qualquer inteiro
(na verdade vale para qualquer real
sob hipóteses mais gerais), a derivada da função
é
O que cada símbolo significa:
-
é a variável independente. -
é o expoente (aqui um inteiro, no nosso caso ). -
é a potência de com expoente reduzido em uma unidade.
Intuição rápida do porquê: usando a definição do limite e a expansão binomial paraquando é inteiro positivo, o termo linear em é ; ao dividir por e tomar sobram apenas . Para expoentes negativos podemos obter o resultado aplicando a regra do recíproco (veja próximo passo).
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso caso. Temos
, ou seja
. Usando diretamente a regra do expoente,
Se preferir ver com outra abordagem básica para confirmar: escreva
. Seja
, então
. A regra da derivada do recíproco diz
Substituindo
e
,
que é o mesmo resultado obtido pela regra do expoente.
Passo 5
Interpretação final e forma alternativa: a derivada é
, que também pode ser escrita como
. Lembrar do domínio: esta expressão vale para
.