Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede sua derivada. Informações fornecidas:
  • Função: g(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O objetivo é calcular g'(x), a derivada de g em pontos onde ela existe.
  • Observação importante: a função g não está definida em x=0; portanto qualquer derivada só faz sentido para x\neq0.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): uma maneira muito prática é reescrever a função usando uma potência e aplicar a regra do poder (power rule). Vou explicar essa regra passo a passo para você entender e usar na prova.
Regra do poder (forma usada aqui): para uma função da forma f(x)=x^{n}, com n um número real fixo, a derivada é
f'(x)=n x^{n-1}.
O que isso significa: a variável x é a base, n é o expoente; ao derivar, multiplica-se por n e reduz-se o expoente em 1. Essa regra é uma ferramenta padrão e muito útil na prova — lembra de sempre checar o domínio (quando x=0 e expoentes negativos é preciso cuidado).

Passo 3

Aplicar a regra do poder ao nosso caso. Primeiro reescrever g como potência:
g(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}.
Agora aplicamos a regra do poder com n=-1:
g'(x)=(-1)\,x^{-1-1}=(-1)\,x^{-2}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida para ficar na forma mais convencional:
(-1)\,x^{-2}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Portanto a derivada é -\dfrac{1}{x^{2}}, válida para x\neq0.

Passo 5

Verificação extra (útil para entender por que isso funciona): calcular a derivada pela definição (diferença quociente) para mostrar que o resultado bate.
Começamos pela definição
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}.
Fazendo uma única fração no numerador:
\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\frac{-h}{x(x+h)}.
Substituindo na diferença quociente:
\frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}=\frac{-h}{x(x+h)}\cdot\frac{1}{h}=-\frac{1}{x(x+h)}.
Agora tomamos o limite quando h\to0:
\lim_{h\to0}\left(-\frac{1}{x(x+h)}\right)=-\frac{1}{x\cdot x}=-\frac{1}{x^{2}}.
Isso confirma o resultado obtido pela regra do poder. Repare que em todas as contas foi necessário que x\neq0 e que x+h\neq0 para h pequeno — reafirmando que a derivada só existe para x\neq0.

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre que você vir \dfrac{1}{x} reescreva como x^{-1} e aplique a regra do poder; cuidado apenas com pontos em que a função não está definida (aqui x=0). Se quiser, memorize que a derivada de \dfrac{1}{x} é -\dfrac{1}{x^{2}} (para x\neq0) — mas saiba sempre como justificar com reescrita em potência ou pela definição.

Resposta

g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}

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