Utilizando as regras da derivação de funções elementares, calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada. Informações fornecidas:
- Função:
. - O objetivo é calcular
, a derivada de em pontos onde ela existe. - Observação importante: a função
não está definida em ; portanto qualquer derivada só faz sentido para .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): uma maneira muito prática é reescrever a função usando uma potência e aplicar a regra do poder (power rule). Vou explicar essa regra passo a passo para você entender e usar na prova.
Regra do poder (forma usada aqui): para uma função da forma
, com
um número real fixo, a derivada é
O que isso significa: a variável
é a base,
é o expoente; ao derivar, multiplica-se por
e reduz-se o expoente em
. Essa regra é uma ferramenta padrão e muito útil na prova — lembra de sempre checar o domínio (quando
e expoentes negativos é preciso cuidado).
Passo 3
Aplicar a regra do poder ao nosso caso. Primeiro reescrever
como potência:
Agora aplicamos a regra do poder com
:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida para ficar na forma mais convencional:
Portanto a derivada é
, válida para
.
Passo 5
Verificação extra (útil para entender por que isso funciona): calcular a derivada pela definição (diferença quociente) para mostrar que o resultado bate.
Começamos pela definição
Começamos pela definição
Fazendo uma única fração no numerador:
Substituindo na diferença quociente:
Agora tomamos o limite quando
:
Isso confirma o resultado obtido pela regra do poder. Repare que em todas as contas foi necessário que
e que
para
pequeno — reafirmando que a derivada só existe para
.
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre que você vir
reescreva como
e aplique a regra do poder; cuidado apenas com pontos em que a função não está definida (aqui
). Se quiser, memorize que a derivada de
é
(para
) — mas saiba sempre como justificar com reescrita em potência ou pela definição.