Utilizando as regras de derivação a seguir, calcule:
I) \text{(c)}^{\prime}=0, onde c \in \mathbb{R}
II) \left(x^{n}\right)^{\prime}=n . x^{n-1}, onde n \in \mathbb{R}
III) (f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
IV) (c . f(x))^{\prime}=c . f^{\prime}(x), onde c \in \mathbb{R}
V) (f(x) \cdot g(x))=f(x) \cdot g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x) \cdot g(x)
VI) \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}
VII) \left(e^{f(x)}\right)^{\prime}=f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)}
VIII) (\ln |f(x)|)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}
IX) (\operatorname{sen}(x))^{\prime}=\cos (x)
X) (\cos (x))^{\prime}=-\operatorname{sen}(x)
f(x)=\frac{\cos (x)}{\sqrt[3]{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt[3]{x}},
usando as regras de derivação fornecidas. Informação importante dada no enunciado que vamos usar: as regras II (regra da potência), V (regra do produto), IX e X (derivadas de \operatorname{sen} e \cos). Aqui a função está escrita como quociente, e a raiz cúbica no denominador é \sqrt[3]{x}. O objetivo final é encontrar f'(x) (e indicar, se necessário, o domínio onde a derivada faz sentido).

Passo 2

Primeiro, reorganizo a função para usar regras mais simples: transformar a raiz cúbica em potência e passar para o numerador usando expoente negativo. Sabendo que \sqrt[3]{x}=x^{1/3}, temos
f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt[3]{x}}=\cos(x)\cdot x^{-1/3}.
Explicação didática: escrever como produto é útil porque aí aplicamos a regra do produto (que é bem direta). Reescrever raízes como potências é uma técnica padrão: \sqrt[n]{x}=x^{1/n}.

Passo 3

Escolho usar a regra do produto porque agora f é produto de duas funções simples:
u(x)=\cos(x),\qquad v(x)=x^{-1/3}.
Observação sobre alternativa: também poderia usar a regra do quociente diretamente, mas transformar em produto + regra da potência costuma ser mais rápido e com menos chance de erro.

Passo 4

Aplico a regra do produto (regra V):
( u\cdot v )' = u\cdot v' + u'\cdot v.
Aqui isso significa
f'(x)=\cos(x)\cdot \bigl(x^{-1/3}\bigr)' + \bigl(\cos(x)\bigr)'\cdot x^{-1/3}.

Passo 5

Calculo as derivadas parciais necessárias:
  • Derivada de \cos(x): pela regra X,
\bigl(\cos(x)\bigr)'=-\operatorname{sen}(x).
  • Derivada de x^{-1/3}: pela regra da potência (regra II) com n=-\tfrac{1}{3},
\bigl(x^{n}\bigr)'=n\,x^{n-1}\quad\Rightarrow\quad \bigl(x^{-1/3}\bigr)'=-\tfrac{1}{3}\,x^{-1/3-1}=-\tfrac{1}{3}\,x^{-4/3}.
Explicação didática do passo da potência: subtrai-se 1 do expoente n, então n-1=-\tfrac{1}{3}-1=-\tfrac{4}{3}, e multiplica-se por n.

Passo 6

Substituo essas derivadas na expressão da regra do produto:
f'(x)=\cos(x)\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{3}x^{-4/3}\Bigr)+\Bigl(-\operatorname{sen}(x)\Bigr)\cdot x^{-1/3}.
Simplificando os sinais:
f'(x)=-\tfrac{1}{3}\cos(x)\,x^{-4/3}-\operatorname{sen}(x)\,x^{-1/3}.

Passo 7

Coloco a expressão numa forma única e um pouco mais compacta. Posso fatorar x^{-4/3} em evidência:
x^{-1/3}=x^{-4/3}\cdot x,
portanto
f'(x)=-x^{-4/3}\Bigl(\tfrac{1}{3}\cos(x)+x\operatorname{sen}(x)\Bigr).
Outra forma equivalente, escrevendo com potências positivas no denominador:
f'(x)=-\frac{1}{x^{4/3}}\Bigl(\tfrac{1}{3}\cos(x)+x\operatorname{sen}(x)\Bigr).

Passo 8

Se preferir um único quociente com denominador comum 3x^{4/3}, multiplico numerador e denominador adequadamente:
f'(x)=-\frac{\cos(x)}{3x^{4/3}}-\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{1/3}}=-\frac{\cos(x)+3x\operatorname{sen}(x)}{3x^{4/3}}.
Observação sobre domínio: como temos \sqrt[3]{x} no denominador original, a função e sua derivada não estão definidas em x=0. A raiz cúbica permite x<0 (é real), então o domínio natural para a derivada aqui é x\neq 0.

Resposta

f'(x)=-\tfrac{1}{3}\cos(x)\,x^{-4/3}-\operatorname{sen}(x)\,x^{-1/3} = -\dfrac{1}{x^{4/3}}\Bigl(\tfrac{1}{3}\cos(x)+x\operatorname{sen}(x)\Bigr) = -\dfrac{\cos(x)+3x\operatorname{sen}(x)}{3x^{4/3}},\; x\neq 0

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