Utilizando as regras de derivação a seguir, calcule:
I)
, onde
II)
, onde
III)
IV)
, onde
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
usando as regras de derivação fornecidas. Informação importante dada no enunciado que vamos usar: as regras II (regra da potência), V (regra do produto), IX e X (derivadas de
e
). Aqui a função está escrita como quociente, e a raiz cúbica no denominador é
. O objetivo final é encontrar
(e indicar, se necessário, o domínio onde a derivada faz sentido).
Passo 2
Primeiro, reorganizo a função para usar regras mais simples: transformar a raiz cúbica em potência e passar para o numerador usando expoente negativo. Sabendo que
, temos
Explicação didática: escrever como produto é útil porque aí aplicamos a regra do produto (que é bem direta). Reescrever raízes como potências é uma técnica padrão:
.
Passo 3
Escolho usar a regra do produto porque agora
é produto de duas funções simples:
Observação sobre alternativa: também poderia usar a regra do quociente diretamente, mas transformar em produto + regra da potência costuma ser mais rápido e com menos chance de erro.
Passo 4
Aplico a regra do produto (regra V):
Aqui isso significa
Passo 5
Calculo as derivadas parciais necessárias:
- Derivada de
: pela regra X,
- Derivada de
: pela regra da potência (regra II) com ,
Explicação didática do passo da potência: subtrai-se 1 do expoente
, então
, e multiplica-se por
.
Passo 6
Substituo essas derivadas na expressão da regra do produto:
Simplificando os sinais:
Passo 7
Coloco a expressão numa forma única e um pouco mais compacta. Posso fatorar
em evidência:
portanto
Outra forma equivalente, escrevendo com potências positivas no denominador:
Passo 8
Se preferir um único quociente com denominador comum
, multiplico numerador e denominador adequadamente:
Observação sobre domínio: como temos
no denominador original, a função e sua derivada não estão definidas em
. A raiz cúbica permite
(é real), então o domínio natural para a derivada aqui é
.