Utilizando as regras de derivação a seguir, calcule:
I) \text{(c)}^{\prime}=0, onde c \in \mathbb{R}
II) \left(x^{n}\right)^{\prime}=n . x^{n-1}, onde n \in \mathbb{R}
III) (f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
IV) (c . f(x))^{\prime}=c . f^{\prime}(x), onde c \in \mathbb{R}
V) (f(x) \cdot g(x))=f(x) \cdot g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x) \cdot g(x)
VI) \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}
VII) \left(e^{f(x)}\right)^{\prime}=f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)}
VIII) (\ln |f(x)|)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}
IX) (\operatorname{sen}(x))^{\prime}=\cos (x)
X) (\cos (x))^{\prime}=-\operatorname{sen}(x)
f(x)=\frac{\ln |3 x|}{e^{\operatorname{sen}(x)}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de
f(x)=\frac{\ln\lvert 3x\rvert}{e^{\operatorname{sen}(x)}}.
Informações relevantes dadas (regras que podemos usar): regra do produto, regra da cadeia, derivada de \ln\lvert u\rvert e derivada de e^{u}. Não é pedido nada além da derivada; devemos obter uma expressão para f'(x) (observação: a função só está definida para x\neq0).

Passo 2

Escolha do método: é mais simples reescrever a função como produto em vez de usar diretamente a regra do quociente. Rewrite:
f(x)=\ln\lvert 3x\rvert \cdot e^{-\operatorname{sen}(x)}.
Isso permite usar a regra do produto e a regra da cadeia (para a exponencial). Essa escolha é natural porque e^{-\operatorname{sen}(x)} é uma composição e^{u(x)} com u(x)=-\operatorname{sen}(x), cuja derivada é imediata com a regra da cadeia.

Passo 3

Derivada de \ln\lvert 3x\rvert: usar a regra (\ln\lvert u(x)\rvert)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=3x e u'(x)=3. Logo
\big(\ln\lvert 3x\rvert\big)'=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x},
válido para x\neq0. Isso faz sentido: a constante multiplicativa dentro do log desaparece na derivada porque \frac{d}{dx}\ln\lvert ax\rvert=\frac{a}{ax}=\frac{1}{x}.

Passo 4

Derivada de e^{-\operatorname{sen}(x)}: usar a regra \big(e^{u(x)}\big)'=u'(x)e^{u(x)}.
Aqui u(x)=-\operatorname{sen}(x). Então u'(x)=-\cos(x). Assim
\big(e^{-\operatorname{sen}(x)}\big)' = (-\cos x)\,e^{-\operatorname{sen}(x)}.
Explicando: derivamos o expoente e multiplicamos pela própria exponencial.

Passo 5

Aplicar a regra do produto: se h(x)=p(x)\cdot q(x) então h'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
Tomando p(x)=\ln\lvert 3x\rvert e q(x)=e^{-\operatorname{sen}(x)}, temos
f'(x)=\frac{1}{x}\,e^{-\operatorname{sen}(x)}+\ln\lvert 3x\rvert\cdot(-\cos x)\,e^{-\operatorname{sen}(x)}.
Escrevendo de forma mais organizada:
f'(x)=e^{-\operatorname{sen}(x)}\!\left(\frac{1}{x}-\ln\lvert 3x\rvert\cos x\right).

Passo 6

Opcional: escrever a derivada em termos da forma original com e^{\operatorname{sen}(x)} no denominador. Lembrando que e^{-\operatorname{sen}(x)}=\dfrac{1}{e^{\operatorname{sen}(x)}}, multiplicamos a expressão anterior por 1 para obter
f'(x)=\frac{1}{e^{\operatorname{sen}(x)}}\!\left(\frac{1}{x}-\ln\lvert 3x\rvert\cos x\right) =\frac{1-x\ln\lvert 3x\rvert\cos x}{x\,e^{\operatorname{sen}(x)}}.
Ambas as formas são matematicamente equivalentes; a segunda coloca tudo sobre um único denominador.

Resposta

f'(x)=e^{-\operatorname{sen}(x)}\!\left(\frac{1}{x}-\ln\lvert 3x\rvert\cos x\right)
ou equivalentemente
f'(x)=\frac{1-x\ln\lvert 3x\rvert\cos x}{x\,e^{\operatorname{sen}(x)}},\quad x\neq0.

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