Utilizando as regras de derivação a seguir, calcule:
I)
, onde
II)
, onde
III)
IV)
, onde
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
Informações relevantes dadas (regras que podemos usar): regra do produto, regra da cadeia, derivada de
e derivada de
. Não é pedido nada além da derivada; devemos obter uma expressão para
(observação: a função só está definida para
).
Passo 2
Escolha do método: é mais simples reescrever a função como produto em vez de usar diretamente a regra do quociente. Rewrite:
Isso permite usar a regra do produto e a regra da cadeia (para a exponencial). Essa escolha é natural porque
é uma composição
com
, cuja derivada é imediata com a regra da cadeia.
Passo 3
Derivada de
: usar a regra
.
Aqui e
. Logo
Aqui
válido para
. Isso faz sentido: a constante multiplicativa dentro do log desaparece na derivada porque
.
Passo 4
Derivada de
: usar a regra
.
Aqui . Então
. Assim
Aqui
Explicando: derivamos o expoente e multiplicamos pela própria exponencial.
Passo 5
Aplicar a regra do produto: se
então
.
Tomando e
, temos
Tomando
Escrevendo de forma mais organizada:
Passo 6
Opcional: escrever a derivada em termos da forma original com
no denominador. Lembrando que
, multiplicamos a expressão anterior por
para obter
Ambas as formas são matematicamente equivalentes; a segunda coloca tudo sobre um único denominador.
Resposta
ou equivalentemente