Utilizando as regras de derivação a seguir, calcule:
I)
, onde
II)
, onde
III)
IV)
, onde
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
VIII)
IX)
X)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
usando as regras dadas (I a X). Informações relevantes que o enunciado deu:
- Regras básicas de derivação: derivada de constante, regra do poder, soma, constante vezes função, produto, quociente, exponencial, log, sen e cos (regras I a X).
- A função é a soma de três termos:
, e .
A tarefa é aplicar as regras apropriadas para cada termo e somar os resultados.
Passo 2
Derivada de
. Vou reescrever
como quociente
Agora uso a regra do quociente (regra VI):
Aqui tomo
e
. Pelas regras dadas:
Aplicando a regra do quociente:
No numerador:
Usando a identidade pitagórica
, obtemos
(Obs.: essa função também é conhecida como
, mas vou manter
.)
Passo 3
Derivada de
. Primeiro reescrevo em potência:
Uso a regra IV (constante vezes função) e a regra II (regra do poder). A regra do poder diz que
. Aplicando:
E
Portanto
Em forma de fração isso é
.
Passo 4
Derivada de
. Pela regra I, a derivada de uma constante é zero:
Passo 5
Combino as derivadas usando a regra da soma (regra III): a derivada da soma é a soma das derivadas. Então
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Simplificando a notação de potência para fração: