Utilizando as regras de derivação a seguir, calcule:
I) \text{(c)}^{\prime}=0, onde c \in \mathbb{R}
II) \left(x^{n}\right)^{\prime}=n . x^{n-1}, onde n \in \mathbb{R}
III) (f(x)+g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
IV) (c . f(x))^{\prime}=c . f^{\prime}(x), onde c \in \mathbb{R}
V) (f(x) \cdot g(x))=f(x) \cdot g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x) \cdot g(x)
VI) \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}
VII) \left(e^{f(x)}\right)^{\prime}=f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)}
VIII) (\ln |f(x)|)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}
IX) (\operatorname{sen}(x))^{\prime}=\cos (x)
X) (\cos (x))^{\prime}=-\operatorname{sen}(x)
f(x)=\operatorname{tg}(x)-\frac{7}{x^{5}}+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\operatorname{tg}(x)-\frac{7}{x^{5}}+3
usando as regras dadas (I a X). Informações relevantes que o enunciado deu:
  • Regras básicas de derivação: derivada de constante, regra do poder, soma, constante vezes função, produto, quociente, exponencial, log, sen e cos (regras I a X).
  • A função é a soma de três termos: \operatorname{tg}(x), -\dfrac{7}{x^{5}} e 3.
    A tarefa é aplicar as regras apropriadas para cada termo e somar os resultados.

Passo 2

Derivada de \operatorname{tg}(x). Vou reescrever \operatorname{tg}(x) como quociente
\operatorname{tg}(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}.
Agora uso a regra do quociente (regra VI):
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui tomo u(x)=\operatorname{sen}(x) e v(x)=\cos(x). Pelas regras dadas:
u'(x)=\operatorname{sen}'(x)=\cos(x)\quad\text{(regra IX)},
v'(x)=\cos'(x)=-\operatorname{sen}(x)\quad\text{(regra X)}.
Aplicando a regra do quociente:
\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\right)'=\frac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\cdot(-\operatorname{sen}(x))}{\cos^{2}(x)}.
No numerador:
\cos(x)\cos(x)-\operatorname{sen}(x)(- \operatorname{sen}(x))=\cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x).
Usando a identidade pitagórica \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1, obtemos
\left(\operatorname{tg}(x)\right)'=\frac{1}{\cos^{2}(x)}.
(Obs.: essa função também é conhecida como \operatorname{sec}^{2}(x), mas vou manter \dfrac{1}{\cos^{2}(x)}.)

Passo 3

Derivada de -\dfrac{7}{x^{5}}. Primeiro reescrevo em potência:
-\frac{7}{x^{5}}=-7x^{-5}.
Uso a regra IV (constante vezes função) e a regra II (regra do poder). A regra do poder diz que (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}. Aplicando:
\left(-7x^{-5}\right)'=-7\cdot\left(x^{-5}\right)'.
E
\left(x^{-5}\right)'=-5x^{-6}.
Portanto
\left(-7x^{-5}\right)'=-7\cdot(-5)x^{-6}=35x^{-6}.
Em forma de fração isso é \dfrac{35}{x^{6}}.

Passo 4

Derivada de 3. Pela regra I, a derivada de uma constante é zero:
(3)'=0.

Passo 5

Combino as derivadas usando a regra da soma (regra III): a derivada da soma é a soma das derivadas. Então
f'(x)=\left(\operatorname{tg}(x)\right)'+\left(-\frac{7}{x^{5}}\right)'+(3)'.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}+35x^{-6}+0.
Simplificando a notação de potência para fração:
f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}+\frac{35}{x^{6}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}+\frac{35}{x^{6}}

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