Utilizando o roteiro acima, faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{2 x-4}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x)=\frac{2x-4}{x-3}.
O conteúdo envolve encontrar o domínio, as assíntotas (vertical e oblíqua), os interceptos com os eixos e o comportamento nos intervalos para depois traçar os dois ramos do gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio de f. A única restrição vem do denominador x-3\neq0. Logo,
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}.

Passo 3

Identificar a assíntota vertical. Como o denominador se anula em x=3 e o numerador não anula lá, temos
\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty,
portanto a reta
x=3
é assíntota vertical.

Passo 4

Encontrar a assíntota oblíqua. Fazendo divisão de polinômios:
2x-4 = 2(x-3) + 2,
logo
f(x)=2 + \frac{2}{x-3}.
Como \tfrac{2}{x-3}\to0 quando |x|\to\infty, a reta
y=2
é assíntota oblíqua (na verdade é horizontal, mas vem do termo constante após divisão).

Passo 5

Calcular os interceptos:
– Intercepto com o eixo x: resolve-se 2x-4=0, obtendo
x=2,\quad f(2)=0,
ou seja ponto (2,0).
– Intercepto com o eixo y: toma-se x=0,
f(0)=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3},
ponto \bigl(0,\tfrac{4}{3}\bigr).

Passo 6

Estudar o sinal e o comportamento em cada intervalo definido por x=2 e x=3:
\;(-\infty,2),\;(2,3),\;(3,\infty).
Escolhendo pontos-teste:
– Em x=0: f(0)=4/3>0.
– Em x=2{,}5: numerador >0, denominador <0 \Rightarrow f<0.
– Em x=4: numerador >0, denominador >0 \Rightarrow f>0.
Além disso
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2,
então cada ramo se aproxima de y=2 longe da origem.

Passo 7

Esboçar o gráfico com base nos dados:
– Para x<3: ramo que se aproxima horizontalmente de y=2 quando x\to-\infty, passa em \bigl(0,\tfrac{4}{3}\bigr), cruza o eixo em (2,0) e cai para -\infty ao se aproximar de x=3 pela esquerda.
– Para x>3: ramo que vem de +\infty ao chegar em x=3^+, decresce passando por (4,4) e se aproxima de y=2 quando x\to+\infty.

Resposta

O esboço do gráfico de f(x)=\frac{2x-4}{x-3} tem:
– Domínio \mathbb{R}\setminus\{3\}.
– Assíntota vertical x=3.
– Assíntota oblíqua (horizontal) y=2.
– Interceptos (2,0) e \bigl(0,\tfrac{4}{3}\bigr).
– Ramo à esquerda de x=3 positivo para x<2 e negativo em (2,3), e ramo à direita de x=3 sempre positivo, ambos aproximando-se de y=2.

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