Utilizando o roteiro acima, faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}.
Para isso, vamos analisar em sequência o domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonicidade, concavidade e pontos de inflexão, e então montar o esboço.

Passo 2

Domínio e interceptos:
A função está definida para todo x\in\mathbb{R}, pois x^{2}+1>0 sempre.
O intercepto em y é
f(0)=\frac{1}{0^{2}+1}=1,
logo o gráfico passa por (0,1).
Simetria:
Como
f(-x)=\frac{1}{(-x)^{2}+1}=\frac{1}{x^{2}+1}=f(x),
a função é par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Assíntotas:
Para x\to\pm\infty vale
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{2}+1}=0,
portanto o eixo x (reta y=0) é assíntota horizontal.

Passo 4

Monotonicidade e extremum:
Derivando, obtemos
f'(x)=-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Temos f'(x)>0 para x<0 (função crescente) e f'(x)<0 para x>0 (função decrescente). Em x=0 a derivada zera e é um máximo global, com valor f(0)=1.

Passo 5

Concavidade e pontos de inflexão:
A segunda derivada é
f''(x)=\frac{6x^{2}-2}{(x^{2}+1)^{3}}.
Logo f''(x)<0 se |x|<\tfrac{1}{\sqrt{3}} (concavidade para baixo) e f''(x)>0 se |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}} (concavidade para cima). Os pontos de inflexão ocorrem em
x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad f\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) =\frac{1}{\tfrac{1}{3}+1}=\frac{3}{4}.

Passo 6

Esboço do gráfico:
– Traçar o ponto (0,1).
– Desenhar curva simétrica em relação ao eixo y, que decresce de 1 em x=0 até se aproximar de 0 para x\to\pm\infty.
– Marcar assíntota horizontal y=0.
– Mostrar concavidade para baixo em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) até |x|<1/\sqrt{3} e para cima fora dessa região.
– Indicar pontos de inflexão em \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3},}\tfrac{3}{4}\bigr).

Resposta

O gráfico de f(x)=\tfrac{1}{x^{2}+1} é uma curva em forma de “cúpula” centrada em (0,1), simétrica em relação ao eixo y, que decresce para os dois lados e se aproxima assintoticamente de y=0. Ela é côncava para baixo em \lvert x\rvert<1/\sqrt{3} e côncava para cima em \lvert x\rvert>1/\sqrt{3}, com pontos de inflexão em \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{3}{4}\bigr).

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