Utilizando o roteiro acima, faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
Para isso, vamos analisar em sequência o domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonicidade, concavidade e pontos de inflexão, e então montar o esboço.
Passo 2
Domínio e interceptos:
A função está definida para todo , pois
sempre.
O intercepto em é
A função está definida para todo
O intercepto em
logo o gráfico passa por
.
Simetria:
Como
Simetria:
Como
a função é par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Assíntotas:
Para vale
Para
portanto o eixo
(reta
) é assíntota horizontal.
Passo 4
Monotonicidade e extremum:
Derivando, obtemos
Derivando, obtemos
Temos
para
(função crescente) e
para
(função decrescente). Em
a derivada zera e é um máximo global, com valor
.
Passo 5
Concavidade e pontos de inflexão:
A segunda derivada é
A segunda derivada é
Logo
se
(concavidade para baixo) e
se
(concavidade para cima). Os pontos de inflexão ocorrem em
Passo 6
Esboço do gráfico:
– Traçar o ponto .
– Desenhar curva simétrica em relação ao eixo , que decresce de
em
até se aproximar de
para
.
– Marcar assíntota horizontal .
– Mostrar concavidade para baixo em até
e para cima fora dessa região.
– Indicar pontos de inflexão em .
– Traçar o ponto
– Desenhar curva simétrica em relação ao eixo
– Marcar assíntota horizontal
– Mostrar concavidade para baixo em
– Indicar pontos de inflexão em
Resposta
O gráfico de
é uma curva em forma de “cúpula” centrada em
, simétrica em relação ao eixo
, que decresce para os dois lados e se aproxima assintoticamente de
. Ela é côncava para baixo em
e côncava para cima em
, com pontos de inflexão em
.