Utilizando o segundo limite fundamental, determine:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{x}.
Informações dadas: a expressão é uma potência em que a base e o expoente dependem de x. Não há imagens nem dados adicionais.

Passo 2

Observação inicial e reescrita útil: escrever a base como 1+ algo pequeno quando x é grande ajuda a usar limites conhecidos. Note que
\frac{x+3}{x+2}=1+\frac{1}{x+2}.
Portanto a expressão do limite pode ser escrita como
\left(1+\frac{1}{x+2}\right)^{x}.

Passo 3

Lembrete didático (o “segundo limite fundamental” que o professor chamou): a forma básica é
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e.
Explicação rápida de por que isso vale (sem série): tomar logaritmo natural da expressão geral \left(1+\dfrac{a}{t}\right)^t. Seja t grande e a fixo; então
\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right)^t = t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right).
Fazer a mudança u=\dfrac{a}{t} (quando t\to\infty, u\to 0) e usar que
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1,
segue que
\lim_{t\to\infty} t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right) = \lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot a = a.
Exponenciando, obtém-se a forma generalizada
\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{a}{t}\right)^{t}=e^{a}.
No caso particular a=1 recupera-se \lim_{t\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{t}\right)^{t}=e.

Passo 4

Aplicar a ideia ao nosso limite. Faça a substituição conveniente y=x+2. Quando x\to+\infty também y\to+\infty, e
\left(1+\frac{1}{x+2}\right)^{x}=\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y-2}.
Agora separe o fator:
\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y-2} =\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\cdot\left(1+\frac{1}{y}\right)^{-2}.
Tomando limite quando y\to\infty, usa-se a forma conhecida e o fato de que fatores que tendem a 1 não alteram o resultado:
\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}=e, \qquad \lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{-2}=1.
Pelo produto de limites,
\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y-2}=e\cdot 1 = e.

Passo 5

Interpretação final e encorajamento: portanto a expressão dada tende a e quando x cresce sem limite. Lembre-se da técnica: transformar a base em 1+ algo pequeno e usar o limite padrão \left(1+\tfrac{1}{t}\right)^t\to e. Isso resolve muitos limites desse tipo — é uma arma poderosa pra prova, respira e confia que tu consegue aplicar isso rápido!

Resposta

e

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