Utilizando o segundo limite fundamental, determine:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão é
. - A variável
tende para . - Note que
quando , então a base tende para e o expoente tende para .
Passo 2
Fazer uma substituição que reduza o problema ao limite fundamental conhecido. Defina
Quando
temos
. Reescrevendo a expressão em função de
:
Agora use a propriedade de potências para separar:
Passo 3
Apresentar o segundo limite fundamental e como ele se aplica. O segundo limite fundamental (forma discreta/continua) é
Esse resultado também implica a forma generalizada
para qualquer constante
. Aqui precisamos aplicar uma versão com
; por isso vamos manipular.
Passo 4
Mostrar que
. Faça a substituição
, então
quando
. Temos
Reescrevendo,
Pelo limite fundamental com
(ou reconhecendo que
), obtemos
Portanto
Passo 5
Voltar à expressão original usando o resultado do passo anterior. Como
então, usando a expressão do Passo 2,
A troca do limite com a potência é válida porque a função potência é contínua.