Utilizando o segundo limite fundamental, determine:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{x}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é \left(1+\dfrac{3}{x}\right)^{x}.
  • A variável x tende para -\infty.
  • Note que \dfrac{3}{x}\to 0 quando x\to -\infty, então a base tende para 1 e o expoente tende para -\infty.

Passo 2

Fazer uma substituição que reduza o problema ao limite fundamental conhecido. Defina
t=\frac{x}{3}\quad\Rightarrow\quad x=3t.
Quando x\rightarrow -\infty temos t\rightarrow -\infty. Reescrevendo a expressão em função de t:
\left(1+\frac{3}{x}\right)^{x}=\left(1+\frac{3}{3t}\right)^{3t}=\left(1+\frac{1}{t}\right)^{3t}.
Agora use a propriedade de potências para separar:
\left(1+\frac{1}{t}\right)^{3t}=\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{3}.

Passo 3

Apresentar o segundo limite fundamental e como ele se aplica. O segundo limite fundamental (forma discreta/continua) é
\lim_{u\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}=e.
Esse resultado também implica a forma generalizada
\lim_{u\rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{u}\right)^{u}=e^{a},
para qualquer constante a. Aqui precisamos aplicar uma versão com u\to -\infty; por isso vamos manipular.

Passo 4

Mostrar que \lim_{t\rightarrow -\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}=e. Faça a substituição s=-t, então s\rightarrow +\infty quando t\rightarrow -\infty. Temos
\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=\left(1-\frac{1}{s}\right)^{-s}.
Reescrevendo,
\left(1-\frac{1}{s}\right)^{-s}=\left[\left(1-\frac{1}{s}\right)^{s}\right]^{-1}.
Pelo limite fundamental com a=-1 (ou reconhecendo que \lim_{s\to\infty}\left(1-\tfrac{1}{s}\right)^{s}=e^{-1}), obtemos
\lim_{s\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{s}\right)^{s}=e^{-1}.
Portanto
\lim_{t\rightarrow -\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=\left(e^{-1}\right)^{-1}=e.

Passo 5

Voltar à expressão original usando o resultado do passo anterior. Como
\lim_{t\rightarrow -\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e,
então, usando a expressão do Passo 2,
\lim_{t\rightarrow -\infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{3}=(\lim_{t\rightarrow -\infty}\left(1+\tfrac{1}{t}\right)^{t})^{3}=e^{3}.
A troca do limite com a potência é válida porque a função potência é contínua.

Resposta

e^{3}

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