Utilizando o primeiro limite fundamental, determine:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (3 x)}{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x^{2}}.
Informações relevantes dadas (que vou usar): a identidade trigonométrica entre cosseno e seno e o “primeiro limite fundamental”, isto é
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Usar uma identidade que transforma 1-\cos em algo com \sin. A identidade é
1-\cos u = 2\sin^{2}\!\left(\frac{u}{2}\right),
que vem da fórmula do cosseno de ângulo duplo \cos u = 1-2\sin^{2}\!\left(\dfrac{u}{2}\right). Vou aplicar essa identidade com u=3x.

Passo 3

Substituindo u=3x na identidade, obtemos
\frac{1-\cos(3x)}{x^{2}}=\frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{x^{2}}.

Passo 4

Reescrever para aparecer o quociente \dfrac{\sin t}{t}. Multiplico e divido convenientemente:
\frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{x^{2}} =2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{\frac{3x}{2}}\right)^{2}\!\cdot\frac{\left(\frac{3x}{2}\right)^{2}}{x^{2}}.
Calcule a razão de quadrados:
\frac{\left(\frac{3x}{2}\right)^{2}}{x^{2}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}.
Portanto
\frac{1-\cos(3x)}{x^{2}}=2\cdot\frac{9}{4}\cdot\left(\frac{\sin\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{\frac{3x}{2}}\right)^{2}.

Passo 5

Aplicar o primeiro limite fundamental. Como x\to 0 temos \dfrac{3x}{2}\to 0 e, pela propriedade do limite,
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{\frac{3x}{2}}\right)^{2} =\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\right)^{2}=1^{2}=1.
Logo o limite pedido é
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x^{2}}=2\cdot\frac{9}{4}\cdot 1=\frac{9}{2}.

Passo 6

Resumo rápido para a prova: use 1-\cos u=2\sin^{2}(u/2), transforme para ter \dfrac{\sin t}{t}, e aplique \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Dá sempre esse tipo de conta com cuidado nas constantes (aqui veio um fator 9/2).

Resposta

\dfrac{9}{2}

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