Exercício 16. (F. 4.2, ex.2) Seja
i) Calcule .
ii) Seja
e
. Calcule
e mostre que
diretamente.
Passo 1
O enunciado define
e pede:
- Calcular .
- Com
e , achar e mostrar que .
Usaremos a definição de convolução
propriedades de indicadores e, na parte ii, expansão de Taylor de
.
Passo 2
Calcular
. Como
é o indicador de
,
Esse integral é o comprimento da interseção de
com
.
Passo 3
Analisando a interseção, verifica-se que para
ela tem comprimento
e para
é nula. Logo
Passo 4
Calcular
f*f*f . Usamos
Isso equivale a integrar a função triangular
2-|y| sobre o intervalo
[x-1,x+1] . Há três regiões principais em função de
x :
-
,xin[-3,-1] -
,|x|<=1 -
.xin[1,3]
Passo 5
Calculando o integral em cada região (fazendo troca de variáveis e somando pedaços à esquerda e à direita de zero), chega-se a
Passo 6
Parte ii. Definindo
temos
Passo 7
Para
epsilonto0 usamos a expansão de Taylor de
g(x-y) em torno de
y=0 :
Integrando de
-epsilon a
epsilon , os termos ímpares em
y cancelam e o par em
y^2 dá ordem
epsilon^3 . Assim
e portanto
Resposta
(i)
(ii)