Exercício 16. (F. 4.2, ex.2) Seja
i) Calcule .
ii) Seja e . Calcule e mostre que diretamente.

Passo 1

O enunciado define
e pede:
  1. Calcular .
  2. Com e , achar e mostrar que .
    Usaremos a definição de convolução
propriedades de indicadores e, na parte ii, expansão de Taylor de .

Passo 2

Calcular f*f. Como f é o indicador de [-1,1],
(f*f)(x) =integral-infty^inftyf(y),f(x-y),dy =integral-1^11|x-y|<=1,dy
Esse integral é o comprimento da interseção de [-1,1] com [x-1,x+1].

Passo 3

Analisando a interseção, verifica-se que para |x|<=2 ela tem comprimento 2-|x| e para |x|>2 é nula. Logo
(f*f)(x)= 2-|x|,&|x|<=2, 0,&|x|>2

Passo 4

Calcular f*f*f. Usamos
(f*f*f)(x) =(f*f)*f(x) =integral-infty^infty(f*f)(y),f(x-y),dy =integral-2^2(2-|y|),1|x-y|<=1,dy
Isso equivale a integrar a função triangular 2-|y| sobre o intervalo [x-1,x+1]. Há três regiões principais em função de x:
  • xin[-3,-1],
  • |x|<=1,
  • xin[1,3].

Passo 5

Calculando o integral em cada região (fazendo troca de variáveis e somando pedaços à esquerda e à direita de zero), chega-se a
(f*f*f)(x)= 0,&|x|>3, dfrac(x+3)^22,&-3<= x<=-1, 3-x^2,&|x|<=1, dfrac(3-x)^22,&1<= x<=3

Passo 6

Parte ii. Definindo
fepsilon(x)=1epsilon,fl(xepsilonr),
temos
(fepsilon*g)(x) =integral-infty^inftyfepsilon(y),g(x-y),dy =1epsilonintegral-,epsilon^epsilong(x-y),dy

Passo 7

Para epsilonto0 usamos a expansão de Taylor de g(x-y) em torno de y=0:
g(x-y)=g(x)-y,g'(x)+tfracy^22,g''(x)-cdots
Integrando de -epsilon a epsilon, os termos ímpares em y cancelam e o par em y^2 dá ordem epsilon^3. Assim
1epsilonintegral-,epsilon^epsilong(x-y),dy =1epsilonl(2epsilon,g(x)+O(epsilon^3)r) =2,g(x)+O(epsilon^2),
e portanto
limepsilonto0(fepsilon*g)(x)=2,g(x)

Resposta

(i)
(f*f)(x)= 2-|x|,&|x|<=2, 0,&|x|>2, (f*f*f)(x)= 0,&|x|>3, dfrac(x+3)^22,&-3<= x<=-1, 3-x^2,&|x|<=1, dfrac(3-x)^22,&1<= x<=3
(ii)
(fepsilon*g)(x) =1epsilonintegral-,epsilon^epsilong(x-y),dy, limepsilonto0(fepsilon*g)(x)=2,g(x)

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