Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \frac{5 x^{2}+6 x+9}{(x-3)^{2}(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{5x^{2}+6x+9}{(x-3)^{2}(x+1)^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função racional pela técnica de frações parciais.

Passo 2

Começamos decompondo em frações simples:
\frac{5x^{2}+6x+9}{(x-3)^{2}(x+1)^{2}} =\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)^{2}} +\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^{2}}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-3)^{2}(x+1)^{2} obtemos
5x^{2}+6x+9 = A\,(x-3)(x+1)^{2} + B\,(x+1)^{2} + C\,(x+1)(x-3)^{2} + D\,(x-3)^{2}.
Para achar B e D avaliamos em x=3 e x=-1:
em x=3, 5\cdot9+6\cdot3+9=72=16B B=\tfrac{72}{16}=\tfrac92;
em x=-1, 5\cdot1-6+9=8=16D D=\tfrac{8}{16}=\tfrac12.
Comparando a parte cúbica dá A+C=0. Comparando coeficiente de x^2 surge
-\,A -5C + B + D = 5
e, com B=\tfrac92, D=\tfrac12, obtemos 4A+5=5 A=0 C=0.

Passo 4

Com A=C=0, B=\tfrac92, D=\tfrac12 a integral vira
\int \Bigl(\tfrac92\,(x-3)^{-2} + \tfrac12\,(x+1)^{-2}\Bigr)\,dx =\tfrac92\int(x-3)^{-2}dx + \tfrac12\int(x+1)^{-2}dx.
Usando \int (u)^{-2}du=-(u)^{-1}, temos
\tfrac92\bigl[-(x-3)^{-1}\bigr] +\tfrac12\bigl[-(x+1)^{-1}\bigr] =-\frac{9}{2(x-3)}-\frac{1}{2(x+1)}+C.

Resposta

-\frac{9}{2(x-3)}-\frac{1}{2(x+1)}+C.

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