Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \frac{2 x-3}{\left(x^{2}-3 x+2\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x-3}{\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)^{3}}\,dx
O conteúdo aqui é a técnica de substituição simples, já que o numerador é exatamente a derivada do denominador.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{2} - 3x + 2,
que implica
du = (2x - 3)\,dx.
Note que o numerador 2x-3 aparece no integrando, de modo que (2x-3)\,dx = du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{2x-3}{\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)^{3}}\,dx = \int \frac{du}{u^{3}} = \int u^{-3}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{-3}:
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^{2}} + C.

Resposta

-\frac{1}{2\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)^{2}} + C

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