Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} (x) \tan (x) \sqrt{1+\operatorname{sec} (x)} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,\sqrt{1+\operatorname{sec}(x)}\;dx.
Isso envolve técnicas de substituição, já que vemos \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx e uma função de \operatorname{sec}(x).

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + \operatorname{sec}(x).
Então
du = \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx,
isto é, \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx aparece exatamente no integrando.

Passo 3

Em termos de u, a integral vira
\int \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,\sqrt{1+\operatorname{sec}(x)}\;dx = \int \sqrt{u}\;du = \int u^{\tfrac12}\;du.
Integramos:
\int u^{\tfrac12}\;du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u=1+\operatorname{sec}(x). Logo a primitiva é
\frac{2}{3}\,\bigl(1+\operatorname{sec}(x)\bigr)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\frac{2}{3}\bigl(1+\operatorname{sec}(x)\bigr)^{\tfrac32} + C

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