Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} (x) \tan (x) \sqrt{1+\operatorname{sec} (x)} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \operatorname{sec}(x)\tan(x)\sqrt{1+\operatorname{sec}(x)}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição, pois sabemos que \dfrac{d}{dx}[\operatorname{sec}(x)]=\operatorname{sec}(x)\tan(x),
logo podemos aproveitar essa derivada.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + \operatorname{sec}(x).
Diferenciando, obtemos
du = \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx.
Note que o fator \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx aparece exatamente na integral original.

Passo 3

Substituindo em \int \operatorname{sec}(x)\tan(x)\sqrt{1+\operatorname{sec}(x)}\,dx, temos
\int \sqrt{u}\,du = \int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u=1+\operatorname{sec}(x), a antiderivada é
\frac{2}{3}\bigl(1+\operatorname{sec}(x)\bigr)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\frac{2}{3}\bigl(1+\operatorname{sec}(x)\bigr)^{\tfrac32} + C

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