Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}(2 x) \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin(2x)\,\cos(x)\,dx.
Estamos em um tópico de integração de funções trigonométricas e vamos usar identidades de produto-para-soma para simplificar o integrando antes de integrar.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin(A)\cos(B)=\tfrac12\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr].
Tomando A=2x e B=x, obtemos
\sin(2x)\cos(x) =\tfrac12\bigl[\sin(2x+x)+\sin(2x - x)\bigr] =\tfrac12\bigl[\sin(3x)+\sin(x)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, ficamos com
\int \sin(2x)\cos(x)\,dx =\tfrac12\int\bigl[\sin(3x)+\sin(x)\bigr]dx =\tfrac12\Bigl(\int\sin(3x)\,dx+\int\sin(x)\,dx\Bigr).
Agora calculamos cada antiderivada:
\int\sin(3x)\,dx=-\tfrac{1}{3}\cos(3x), \qquad \int\sin(x)\,dx=-\cos(x).

Passo 4

Reunindo os resultados:
\tfrac12\Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)-\cos(x)\Bigr) =-\tfrac{1}{6}\cos(3x)-\tfrac{1}{2}\cos(x).
Não esqueça da constante de integração C.

Resposta

\int \sin(2x)\cos(x)\,dx =-\tfrac{1}{6}\cos(3x)-\tfrac{1}{2}\cos(x)+C.

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