Utilizando as técnicas de integração, encontrar as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}^{10}(x) \cos ^{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{10}(x)\,\cos^{3}(x)\,\mathrm{d}x.
O conteúdo é técnicas de integração de potências de funções trigonométricas. Quando uma das potências é ímpar, vale isolar um fator desse mesmo seno ou cosseno para fazer substituição.

Passo 2

Reescrevemos \cos^{3}(x) como
\cos^{3}(x)=\cos^{2}(x)\,\cos(x)=(1-\sin^{2}(x))\,\cos(x).
Então o integrando fica
\sin^{10}(x)\,\cos^{3}(x) =\sin^{10}(x)\,(1-\sin^{2}(x))\,\cos(x).

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\sin(x), \qquad \mathrm{d}u=\cos(x)\,\mathrm{d}x.
Assim a integral transforma-se em
\int \sin^{10}(x)\,(1-\sin^{2}(x))\,\cos(x)\,\mathrm{d}x =\int u^{10}(1-u^{2})\,\mathrm{d}u =\int\bigl(u^{10}-u^{12}\bigr)\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int\bigl(u^{10}-u^{12}\bigr)\,\mathrm{d}u =\frac{u^{11}}{11}-\frac{u^{13}}{13}+C.

Passo 5

Voltando à variável original u=\sin(x), obtemos
\frac{\sin^{11}(x)}{11}-\frac{\sin^{13}(x)}{13}+C.

Resposta

\frac{\sin^{11}(x)}{11}-\frac{\sin^{13}(x)}{13}+C

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