Utilizando o Teo. Fund. do Cálculo, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{3}^{x^{3}} \sqrt[3]{2 t-2} d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\int_{3}^{x^{3}}\sqrt[3]{2t-2}\,dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que, para \displaystyle G(x)=\int_{a}^{h(x)}f(t)\,dt,
temos \displaystyle G'(x)=f\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x))
e, como h(x)=x^3, também vamos usar a regra da cadeia para derivar x^3.

Passo 2

Definindo f(t)=\sqrt[3]{2t-2} e h(x)=x^3, o Teorema Fundamental do Cálculo nos dá
g'(x) =f\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x) =\sqrt[3]{2\,(x^3)-2}\;\cdot\;\frac{d}{dx}\bigl(x^3\bigr) =\sqrt[3]{2x^3-2}\;\cdot\;3x^2.

Resposta

g'(x)=3x^2\,\sqrt[3]{2x^3-2}.

Exercícios relacionados