Utilizando o Teo. Fund. do Cálculo, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{3}^{x^{2}} \operatorname{Sen}\left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado dá
g(x) = \int_{3}^{x^{2}} \operatorname{Sen}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
e pede g'(x). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo na forma com limite superior dependente de x, combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui f(t)=\operatorname{Sen}(t^{2}) e u(x)=x^{2}.

Passo 3

Calculamos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x
e
f\bigl(u(x)\bigr)=\operatorname{Sen}\bigl((x^{2})^{2}\bigr)=\operatorname{Sen}(x^{4}).
Aplicando a fórmula,
g'(x)=\operatorname{Sen}(x^{4})\cdot 2x = 2x\,\operatorname{Sen}(x^{4}).

Resposta

g'(x)=2x\,\operatorname{Sen}(x^{4}).

Exercícios relacionados