Utilizando o teorema da convolução, resolva:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=1 se 0<t<a e 0 se t>a;
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com condições iniciais:
y''+3y'+2y = f(t),
onde f(t)=1 para 0<t<a e f(t)=0 para t>a. As condições iniciais são
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que se pede é determinar y(t) para t\ge 0 usando o teorema da convolução. Informações relevantes listadas:
  • Coeficientes da equação: termos homogêneos com polinômio característico (s+1)(s+2).
  • Forçamento f(t) é um pulso retangular de altura 1 e duração a.
  • Condições iniciais nulas, o que simplifica a aplicação da transformada de Laplace e da convolução.

Passo 2

Ideia geral (didática e amigável): para uma equação linear com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace dá
Y(s)\bigl(s^2+3s+2\bigr)=F(s),
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Y(s)=\underbrace{\frac{1}{s^2+3s+2}}_{H(s)}\;F(s).
A função H(s) é a função de transferência; sua transformada inversa h(t) é a resposta ao impulso (impulse response). Pelo teorema da convolução, a solução no tempo é a convolução entre h e f:
y(t)=(h*f)(t)=\int_{0}^{t} h(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau.
Vou então achar h(t) (inverso de H(s)) e depois calcular a convolução com o pulso f(t). Aqui uso que a transformada inversa de \dfrac{1}{s+a} é e^{-at} (para t\ge0).

Passo 3

Calcular H(s) e h(t). Temos
H(s)=\frac{1}{s^2+3s+2}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}.
Fazemos frações parciais:
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Resolvendos para A,B:
1=A(s+2)+B(s+1).
Escolhendo s=-1 obtemos 1=A. Escolhendo s=-2 obtemos 1=-B, então A=1, B=-1. Assim
H(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.
Aplicando a transformada inversa:
h(t)=e^{-t}-e^{-2t}\qquad (t\ge 0).
Explicando rapidinho: \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+1}\}=e^{-t} e \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+2}\}=e^{-2t}.

Passo 4

Descrever f(t)\) convenientemente. O forçamento é o pulso \[f(t)=\begin{cases}1,&0<t<a,\\[4pt]0,&t>a.\end{cases}
Uma forma útil de ver é f(t)=u(t)-u(t-a)\] (diferença de degraus), mas para a convolução basta saber que a integral envolve apenas os instantes onde \(f(\tau)=1. Assim, a integral de convolução será, dependendo de t, limitada por 0 a t (quando t\le a) ou por 0 a a (quando t>a).]

Passo 5

Calcular y(t) para 0\le t\le a. Nesse caso a região onde f(\tau)=1 é \tau\in[0,t], então
y(t)=\int_{0}^{t} h(t-\tau)\,1\,d\tau=\int_{0}^{t}\bigl(e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)}\bigr)\,d\tau.
Calculemos as duas integrais separadamente.
Primeira integral:
\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\,d\tau=\int_{0}^{t} e^{-t+\tau}\,d\tau=e^{-t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau=e^{-t}\bigl(e^{t}-1\bigr)=1-e^{-t}.
Segunda integral:
\int_{0}^{t} e^{-2(t-\tau)}\,d\tau=\int_{0}^{t} e^{-2t+2\tau}\,d\tau=e^{-2t}\int_{0}^{t} e^{2\tau}\,d\tau =e^{-2t}\cdot\frac{e^{2t}-1}{2}=\frac{1-e^{-2t}}{2}.
Subtraindo as duas contribuições:
y(t)=\bigl(1-e^{-t}\bigr)-\frac{1-e^{-2t}}{2}=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t},
para 0\le t\le a. Verificação rápida: em t=0 obtemos y(0)=\tfrac12-1+\tfrac12=0, que confere com a condição inicial.

Passo 6

Calcular y(t) para t\ge a. Agora f(\tau)=1 apenas em \tau\in[0,a], então
y(t)=\int_{0}^{a} h(t-\tau)\,d\tau=\int_{0}^{a}\bigl(e^{-(t-\tau)}-e^{-2(t-\tau)}\bigr)\,d\tau.
Novamente integramos termo a termo.
Primeiro termo:
\int_{0}^{a} e^{-(t-\tau)}\,d\tau=e^{-t}\int_{0}^{a} e^{\tau}\,d\tau=e^{-t}\bigl(e^{a}-1\bigr).
Segundo termo:
\int_{0}^{a} e^{-2(t-\tau)}\,d\tau=e^{-2t}\int_{0}^{a} e^{2\tau}\,d\tau =e^{-2t}\cdot\frac{e^{2a}-1}{2}=\frac{e^{-2t}\bigl(e^{2a}-1\bigr)}{2}.
Lembrando que a estrutura original tem subtração, obtemos
y(t)=e^{-t}\bigl(e^{a}-1\bigr)-\frac{e^{-2t}\bigl(e^{2a}-1\bigr)}{2},
para t\ge a. Podemos deixar também em forma factorizada ou expandida, mas esta forma mostra bem como o pulso de duração a gera termos exponenciais retardados. Conferência em t=a dá continuidade com o caso anterior (pode verificar substituindo t=a).

Resposta

y(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}-e^{-t}+\dfrac{1}{2}e^{-2t}, & 0\le t\le a,\\[10pt] e^{-t}\bigl(e^{a}-1\bigr)-\dfrac{e^{-2t}\bigl(e^{2a}-1\bigr)}{2}, & t\ge a. \end{cases}]

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