A função H(s) é a função de transferência; sua transformada inversa h(t) é a resposta ao impulso (impulse response). Pelo teorema da convolução, a solução no tempo é a convolução entre h e f:
Vou então achar h(t) (inverso de H(s)) e depois calcular a convolução com o pulso f(t). Aqui uso que a transformada inversa de \dfrac{1}{s+a} é e^{-at} (para t\ge0).
Passo 3
Calcular H(s) e h(t). Temos
H(s)=\frac{1}{s^2+3s+2}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}.
Fazemos frações parciais:
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Resolvendos para A,B:
1=A(s+2)+B(s+1).
Escolhendo s=-1 obtemos 1=A. Escolhendo s=-2 obtemos 1=-B, então A=1, B=-1. Assim
H(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.
Aplicando a transformada inversa:
h(t)=e^{-t}-e^{-2t}\qquad (t\ge 0).
Explicando rapidinho: \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+1}\}=e^{-t} e \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+2}\}=e^{-2t}.
Passo 4
Descrever f(t)\) convenientemente. O forçamento é o pulso
\[f(t)=\begin{cases}1,&0<t<a,\\[4pt]0,&t>a.\end{cases}
Uma forma útil de ver é f(t)=u(t)-u(t-a)\] (diferença de degraus), mas para a convolução basta saber que a integral envolve apenas os instantes onde \(f(\tau)=1. Assim, a integral de convolução será, dependendo de t, limitada por 0 a t (quando t\le a) ou por 0 a a (quando t>a).]
Passo 5
Calcular y(t) para 0\le t\le a. Nesse caso a região onde f(\tau)=1 é \tau\in[0,t], então
para t\ge a. Podemos deixar também em forma factorizada ou expandida, mas esta forma mostra bem como o pulso de duração a gera termos exponenciais retardados. Conferência em t=a dá continuidade com o caso anterior (pode verificar substituindo t=a).