Encontre por integração:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
em relação a
.
Informações dadas: a integral a calcular é
Informações dadas: a integral a calcular é
Não foram dadas condições adicionais (como intervalo ou valores iniciais), então procuramos a primitiva geral, adicionando a constante de integração
.
Passo 2
Antes de começar a conta, escolhemos o método. Aqui há duas maneiras simples e comuns:
- Substituição direta reconhecendo que uma parte é derivada da outra (método muito básico e eficiente).
- Usar uma identidade trigonométrica para transformar o integrando em forma mais simples.
Vou resolver pelas duas maneiras: primeiro por substituição (é a mais direta) e depois mostrar o método com identidade para reforçar e provar que as respostas são equivalentes.
Passo 3
Método 1 — substituição simples. Observação: se escolhemos
, então a derivada de
é
Isso é ótimo porque o integrando contém exatamente
. Substituindo na integral:
Agora integramos uma função polinomial simples: a primitiva de
é
. Assim
Voltando à variável original
(fazer “back-substitution”):
Pronto — essa é uma primitiva.
Passo 4
Método 2 — usando identidade trigonométrica. Existe a identidade dupla de ângulo
Dessa identidade obtemos
Substituindo na integral:
Para integrar
usamos substituição rápida
, ou recordamos que a primitiva de
é
. Aplicando isso:
Passo 5
Mostrar que as duas formas são equivalentes (diferença apenas na constante). Usamos a identidade
Substituindo em
:
Isso é igual a
mais a constante
. Como na primitiva adicionamos uma constante arbitrária
, as duas formas diferem apenas por uma constante e representam a mesma família de primitivas.
Passo 6
Verificação por diferenciação (controle rápido): derivando
temos, usando regra da cadeia e produto,
logo está correto. Respira fundo — deu certo!