Encontre por integração:
\operatorname{sen} t * \cos t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função \sin t \cdot \cos t em relação a t.
Informações dadas: a integral a calcular é
\int \sin t \cdot \cos t \, dt.
Não foram dadas condições adicionais (como intervalo ou valores iniciais), então procuramos a primitiva geral, adicionando a constante de integração C.

Passo 2

Antes de começar a conta, escolhemos o método. Aqui há duas maneiras simples e comuns:
  • Substituição direta reconhecendo que uma parte é derivada da outra (método muito básico e eficiente).
  • Usar uma identidade trigonométrica para transformar o integrando em forma mais simples.
    Vou resolver pelas duas maneiras: primeiro por substituição (é a mais direta) e depois mostrar o método com identidade para reforçar e provar que as respostas são equivalentes.

Passo 3

Método 1 — substituição simples. Observação: se escolhemos u=\sin t, então a derivada de u é
du = \cos t\, dt.
Isso é ótimo porque o integrando contém exatamente \cos t\,dt. Substituindo na integral:
\int \sin t \cdot \cos t \, dt = \int u \, du.
Agora integramos uma função polinomial simples: a primitiva de u é u^2/2. Assim
\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C.
Voltando à variável original t (fazer “back-substitution”):
\frac{u^2}{2} + C = \frac{\sin^2 t}{2} + C.
Pronto — essa é uma primitiva.

Passo 4

Método 2 — usando identidade trigonométrica. Existe a identidade dupla de ângulo
\sin(2t) = 2\sin t\cos t.
Dessa identidade obtemos
\sin t\cos t = \frac{1}{2}\sin(2t).
Substituindo na integral:
\int \sin t\cos t \, dt = \int \frac{1}{2}\sin(2t)\,dt = \frac{1}{2}\int \sin(2t)\,dt.
Para integrar \sin(2t) usamos substituição rápida v=2t\Rightarrow dv=2\,dt\Rightarrow dt=\frac{dv}{2}, ou recordamos que a primitiva de \sin(kt) é -\frac{1}{k}\cos(kt). Aplicando isso:
\frac{1}{2}\int \sin(2t)\,dt = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2t)\right) + C = -\frac{1}{4}\cos(2t) + C.

Passo 5

Mostrar que as duas formas são equivalentes (diferença apenas na constante). Usamos a identidade
\cos(2t)=1-2\sin^2 t.
Substituindo em -\frac{1}{4}\cos(2t):
-\frac{1}{4}\cos(2t) = -\frac{1}{4}(1-2\sin^2 t) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\sin^2 t.
Isso é igual a \frac{\sin^2 t}{2} mais a constante -\frac{1}{4}. Como na primitiva adicionamos uma constante arbitrária C, as duas formas diferem apenas por uma constante e representam a mesma família de primitivas.

Passo 6

Verificação por diferenciação (controle rápido): derivando \frac{\sin^2 t}{2} temos, usando regra da cadeia e produto,
\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin^2 t}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot 2\sin t\cos t = \sin t\cos t,
logo está correto. Respira fundo — deu certo!

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^2 t}{2} + C
\displaystyle -\frac{1}{4}\cos(2t) + C

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