Utilizando o teorema de Gauss, calcule
onde
é a superfície do cone
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a porção do cone
Informações relevantes que recebemos:
- A superfície
é a superfície lateral do cone entre (vértice) e (uma circunferência de raio ). - A integral dada tem a forma clássica de fluxo de um campo vetorial
no formato . - O enunciado orienta o uso do teorema de Gauss (teorema da divergência).
Passo 2
Interpretar a integral como fluxo de um campo vetorial. Para qualquer campo
vale a identidade de forma diferencial
onde
é a normal exterior à superfície fechada. Aqui identificamos
Como o enunciado pede para usar o teorema de Gauss (que vale para superfícies fechadas), vamos fechar a superfície lateral do cone acrescentando o disco
de raio
na altura
. Assim consideramos a superfície fechada
que é a fronteira do sólido
contido no cone entre
e
.
O teorema de Gauss afirma que
Calculemos a divergência de
:
Passo 3
Aplicar o teorema de Gauss para calcular o fluxo total através da superfície fechada
:
Por simetria do sólido
(círculos centrados em
-eixo), os termos
e
são zero, porque para cada ponto
existe
e
no volume. Portanto
Passo 4
Calcular
em coordenadas cilíndricas. Faça a mudança
A equação do cone dá a dependência entre
e
:
Assim, para cada
temos
e
. Então
Passo 5
Executar as integrais em ordem:
Primeiro em :
Primeiro em
Agora em
:
Finalmente em
:
Passo 6
Retornar ao fluxo total através da superfície fechada
:
Passo 7
Queremos a integral apenas sobre a superfície lateral do cone
(isto é, a integral originalmente pedida). Denotando por
o disco no plano
que fechou a superfície, tem-se
Logo
Calculemos
. No disco
temos
e a normal exterior ao volume aponta para cima,
. Então
O disco tem raio
com
, logo raio
. Assim
e
Passo 8
Finalmente a integral sobre a superfície lateral do cone é