Utilizando o teorema de Gauss, calcule
\iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d x d z+z^{2} d x d y
onde S é a superfície do cone
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{b^{2}}=0, \quad \text { com } \quad 0 \leq z \leq b

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x^{2}\,dy\,dz + y^{2}\,dx\,dz + z^{2}\,dx\,dy
onde S é a porção do cone
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{b^{2}}=0 \qquad\text{com}\qquad 0\le z\le b.
Informações relevantes que recebemos:
  • A superfície S é a superfície lateral do cone entre z=0 (vértice) e z=b (uma circunferência de raio a).
  • A integral dada tem a forma clássica de fluxo de um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) no formato P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy.
  • O enunciado orienta o uso do teorema de Gauss (teorema da divergência).

Passo 2

Interpretar a integral como fluxo de um campo vetorial. Para qualquer campo \mathbf{F}=(P,Q,R) vale a identidade de forma diferencial
\iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é a normal exterior à superfície fechada. Aqui identificamos
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(x^{2},\,y^{2},\,z^{2}\bigr).
Como o enunciado pede para usar o teorema de Gauss (que vale para superfícies fechadas), vamos fechar a superfície lateral do cone acrescentando o disco D de raio a na altura z=b. Assim consideramos a superfície fechada \Sigma = S \cup D que é a fronteira do sólido V contido no cone entre z=0 e z=b.
O teorema de Gauss afirma que
\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} \operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Calculemos a divergência de \mathbf{F}:
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}x^{2}+\frac{\partial}{\partial y}y^{2}+\frac{\partial}{\partial z}z^{2} =2x+2y+2z=2(x+y+z).

Passo 3

Aplicar o teorema de Gauss para calcular o fluxo total através da superfície fechada \Sigma:
\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} 2(x+y+z)\,dV.
Por simetria do sólido V (círculos centrados em z-eixo), os termos \iiint_{V} x\,dV e \iiint_{V} y\,dV são zero, porque para cada ponto (x,y,z) existe (-x,y,z) e (x,-y,z) no volume. Portanto
\iiint_{V} 2(x+y+z)\,dV = 2\iiint_{V} z\,dV.

Passo 4

Calcular \displaystyle \iiint_{V} z\,dV em coordenadas cilíndricas. Faça a mudança
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
A equação do cone dá a dependência entre r e z:
\frac{r^{2}}{a^{2}}=\frac{z^{2}}{b^{2}}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{a}{b}\,z.
Assim, para cada z\in[0,b] temos r\in[0,(a/b)z] e \theta\in[0,2\pi]. Então
\iiint_{V} z\,dV = \int_{z=0}^{b}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\tfrac{a}{b}z} z\; r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 5

Executar as integrais em ordem:
Primeiro em r:
\int_{0}^{\tfrac{a}{b}z} z\,r\,dr = z\left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{\tfrac{a}{b}z} = z\cdot \tfrac{1}{2}\left(\frac{a}{b}z\right)^{2} = \tfrac{1}{2}\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{3}.
Agora em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{2}\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{3}\,d\theta = 2\pi\cdot \tfrac{1}{2}\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{3} = \pi\frac{a^{2}}{b^{2}} z^{3}.
Finalmente em z:
\iiint_{V} z\,dV = \pi\frac{a^{2}}{b^{2}} \int_{0}^{b} z^{3}\,dz = \pi\frac{a^{2}}{b^{2}}\cdot \frac{b^{4}}{4} = \frac{\pi a^{2} b^{2}}{4}.

Passo 6

Retornar ao fluxo total através da superfície fechada \Sigma:
\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = 2\iiint_{V} z\,dV = 2\cdot \frac{\pi a^{2} b^{2}}{4} = \frac{\pi a^{2} b^{2}}{2}.

Passo 7

Queremos a integral apenas sobre a superfície lateral do cone S (isto é, a integral originalmente pedida). Denotando por D o disco no plano z=b que fechou a superfície, tem-se
\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS + \iint_{D} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Logo
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{\Sigma}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS - \iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Calculemos \iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS. No disco D temos z=b e a normal exterior ao volume aponta para cima, \mathbf{n}=\mathbf{k}. Então
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{D} z^{2}\,dS = b^{2}\cdot \operatorname{Area}(D).
O disco tem raio r=\frac{a}{b}\,z com z=b, logo raio a. Assim \operatorname{Area}(D)=\pi a^{2} e
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = b^{2}\cdot \pi a^{2} = \pi a^{2} b^{2}.

Passo 8

Finalmente a integral sobre a superfície lateral do cone é
\iint_{S} x^{2}\,dy\,dz + y^{2}\,dx\,dz + z^{2}\,dx\,dy = \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \frac{\pi a^{2} b^{2}}{2} - \pi a^{2} b^{2} = -\frac{\pi a^{2} b^{2}}{2}.

Resposta

-\dfrac{\pi a^{2} b^{2}}{2}

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