Calcule as derivadas parciais de primeira ordem g x e g y da função fracionária abaixo:
g(x, y)=\frac{x}{x+y}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y)=\frac{x}{x+y}
e pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem g_x e g_y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão algébrica da função é g(x,y)=\dfrac{x}{x+y}.
  • A função só está definida onde o denominador não é zero, ou seja, onde x+y\neq 0.
O que se deve encontrar:
  • A derivada parcial de g em relação a x, denotada por g_x(x,y).
  • A derivada parcial de g em relação a y, denotada por g_y(x,y).

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Intuitivamente, g_x(x,y) mede a taxa de variação de g quando x varia e y fica fixo; g_y(x,y) mede a taxa de variação quando y varia e x fica fixo.
Definição (via limite): para pontos onde a função está definida,
g_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h}, \qquad g_y(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x,y+h)-g(x,y)}{h}.
Na prática, usa-se as regras de derivação (produto, quociente, cadeia, regra de potências) tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Para facilitar a diferenciação, reescrevemos g como produto:
g(x,y)=x\,(x+y)^{-1}.
Aqui a ideia é aplicar a regra do produto quando derivarmos em relação a x e a regra da cadeia quando derivarmos a parte (x+y)^{-1}.

Passo 4

Relembrando as regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (uv)'=u'v+uv'. No contexto de derivada parcial em relação a x, u e v podem depender de x (e de y), e y é tratado como constante.
  • Regra da cadeia / regra da potência: se w(z)=z^{n}, então w'(z)=n z^{n-1}. Aplicando a z=(x+y) e n=-1, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(x+y)^{-1}=-1\,(x+y)^{-2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=-1\,(x+y)^{-2}\cdot 1=- (x+y)^{-2}.
Analogamente, ao derivar em relação a y,
\frac{\partial}{\partial y}(x+y)^{-1}=- (x+y)^{-2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=- (x+y)^{-2}\cdot 1=- (x+y)^{-2}.
Observe que a derivada de (x+y) em relação a x ou y é 1 porque \dfrac{\partial}{\partial x}x=1, \dfrac{\partial}{\partial x}y=0 (e trocando papéis para derivar em relação a y).

Passo 5

Cálculo detalhado de g_x(x,y).
Usando g(x,y)=x\,(x+y)^{-1} e a regra do produto (em relação a x, com y fixo):
g_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\bigr]\cdot (x+y)^{-1} + x\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl[(x+y)^{-1}\bigr].
Calculando cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\bigr]=1, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl[(x+y)^{-1}\bigr]=-(x+y)^{-2}.
Substituindo:
g_x(x,y)=1\cdot (x+y)^{-1} + x\cdot\bigl(- (x+y)^{-2}\bigr) = \frac{1}{x+y} - \frac{x}{(x+y)^{2}}.
Agora simplificamos somando as frações com o mesmo denominador (x+y)^{2}:
\frac{1}{x+y}=\frac{x+y}{(x+y)^{2}},
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g_x(x,y)=\frac{x+y}{(x+y)^{2}} - \frac{x}{(x+y)^{2}} = \frac{x+y-x}{(x+y)^{2}} = \frac{y}{(x+y)^{2}}.

Passo 6

Cálculo detalhado de g_y(x,y).
Aqui tratamos x como constante. Usando g(x,y)=x\,(x+y)^{-1} e que x é constante em relação a y:
g_y(x,y)=x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl[(x+y)^{-1}\bigr].
Já calculamos a derivada de (x+y)^{-1} em relação a y no Passo 4:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[(x+y)^{-1}\bigr]=-(x+y)^{-2}.
Portanto
g_y(x,y)=x\cdot\bigl(- (x+y)^{-2}\bigr) = -\frac{x}{(x+y)^{2}}.

Passo 7

Observações finais, dicas para a prova e exemplo numérico curto:
  • As derivadas parciais só existem (pelo menos na forma que calculamos) quando x+y\neq 0, porque caso contrário a função nem é definida.
  • Dica prática: sempre que for calcular \dfrac{\partial}{\partial x} trate y como constante e vice-versa; reescrever a função como produto x\cdot(x+y)^{-1} ajuda a aplicar regra do produto e da cadeia de maneira direta.
  • Exemplo numérico: em (x,y)=(1,2) temos g_x(1,2)=\dfrac{2}{(1+2)^{2}}=\dfrac{2}{9} e g_y(1,2)=-\dfrac{1}{9}. Isso confirma os sinais e a escala das expressões.

Resposta

g_x(x,y)=\frac{y}{(x+y)^{2}}
g_y(x,y)=-\frac{x}{(x+y)^{2}}

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