Calcule as derivadas parciais de primeira ordem
da função fracionária abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão algébrica da função é
. - A função só está definida onde o denominador não é zero, ou seja, onde
.
O que se deve encontrar:
- A derivada parcial de
em relação a , denotada por . - A derivada parcial de
em relação a , denotada por .
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Intuitivamente,
mede a taxa de variação de
quando
varia e
fica fixo;
mede a taxa de variação quando
varia e
fica fixo.
Definição (via limite): para pontos onde a função está definida,
Na prática, usa-se as regras de derivação (produto, quociente, cadeia, regra de potências) tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Para facilitar a diferenciação, reescrevemos
como produto:
Aqui a ideia é aplicar a regra do produto quando derivarmos em relação a
e a regra da cadeia quando derivarmos a parte
.
Passo 4
Relembrando as regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
e são funções, . No contexto de derivada parcial em relação a , e podem depender de (e de ), e é tratado como constante. - Regra da cadeia / regra da potência: se
, então . Aplicando a e , obtemos
Analogamente, ao derivar em relação a
,
Observe que a derivada de
em relação a
ou
é
porque
,
(e trocando papéis para derivar em relação a
).
Passo 5
Cálculo detalhado de
.
Usando
e a regra do produto (em relação a
, com
fixo):
Calculando cada termo:
Substituindo:
Agora simplificamos somando as frações com o mesmo denominador
:
logo
Passo 6
Cálculo detalhado de
.
Aqui tratamos
como constante. Usando
e que
é constante em relação a
:
Já calculamos a derivada de
em relação a
no Passo 4:
Portanto
Passo 7
Observações finais, dicas para a prova e exemplo numérico curto:
- As derivadas parciais só existem (pelo menos na forma que calculamos) quando
, porque caso contrário a função nem é definida. - Dica prática: sempre que for calcular
trate como constante e vice-versa; reescrever a função como produto ajuda a aplicar regra do produto e da cadeia de maneira direta. - Exemplo numérico: em
temos e . Isso confirma os sinais e a escala das expressões.