Calcule a derivada parcial de segunda ordem mista \mathrm{f}(\mathrm{xy}) da função:
f(x, y)=5 x^{3}+3 x^{2} y^{2}-4 y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=5x^{3}+3x^{2}y^{2}-4y
e pede a derivada parcial de segunda ordem mista, isto é, o derivado parcial que envolve as duas variáveis (usualmente escrito f_{xy} ou f_{yx}). Vou identificar claramente o que se busca:
  • Calcular \displaystyle f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).
    (Como confirmação, também posso calcular \displaystyle f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) e verificar que são iguais.)

Passo 2

O que é uma derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável (por exemplo x), trata-se a outra variável (aqui y) como constante. Usa-se a regra de potência normalmente. Exemplos rápidos de regras que vou usar:
  • Se h(x)=x^{n} então h'(x)=n x^{n-1}.
  • Se uma expressão é produto de uma função de x por uma constante (por exemplo y^{2} quando derivamos em x), tratamos essa parte como constante e aplicamos a regra de potência só à parte que depende de x.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x. Derivo termo a termo:
  • Derivada de 5x^{3} em relação a x: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(5x^{3})=15x^{2}.
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a x: aqui y^{2} é constante, então \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{2})=3\cdot 2x\cdot y^{2}=6x y^{2}.
  • Derivada de -4y em relação a x: como não depende de x, dá 0.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}=15x^{2}+6x y^{2}.

Passo 4

Agora calculo a derivada parcial dessa expressão em relação a y para obter f_{xy}:
  • Derivada de 15x^{2} em relação a y: 15x^{2} é constante em y, então dá 0.
  • Derivada de 6x y^{2} em relação a y: aqui 6x é constante (porque derivamos em y), então aplica-se a regra de potência a y^{2}: \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(6x y^{2})=6x\cdot 2y=12 x y.
Logo
f_{xy}(x,y)=12 x y.

Passo 5

Verificação calculando na ordem inversa ( f_{y} e depois f_{yx}):
  • Primeiro \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(5x^{3})=0.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y^{2})=3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(-4y)=-4.
      Então
    \frac{\partial f}{\partial y}=6x^{2}y-4.
  • Agora \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} dessa expressão:
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(6x^{2}y)=6\cdot 2x\cdot y=12 x y.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-4)=0.
Portanto
f_{yx}(x,y)=12 x y.
Isto confirma que f_{xy}=f_{yx}. (Isto era de esperar: a função é polinomial e tem derivadas contínuas, então as derivadas mistas coincidem.)

Passo 6

Dica prática para a prova: escolha a ordem que te parece mais direta (normalmente derivar primeiro em relação à variável que aparece menos misturada facilita). Polinômios são tranquilos — trate a variável não diferenciada como constante e aplique regra de potência. Respire fundo e faça termo a termo; funciona sempre.

Resposta

f_{xy}(x,y)=12xy
f_{yx}(x,y)=12xy

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