Calcule a derivada parcial de segunda ordem mista
da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial de segunda ordem mista, isto é, o derivado parcial que envolve as duas variáveis (usualmente escrito
ou
). Vou identificar claramente o que se busca:
- Calcular
.
(Como confirmação, também posso calculare verificar que são iguais.)
Passo 2
O que é uma derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável (por exemplo
), trata-se a outra variável (aqui
) como constante. Usa-se a regra de potência normalmente. Exemplos rápidos de regras que vou usar:
- Se
então . - Se uma expressão é produto de uma função de
por uma constante (por exemplo quando derivamos em ), tratamos essa parte como constante e aplicamos a regra de potência só à parte que depende de .
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
. Derivo termo a termo:
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : aqui é constante, então . - Derivada de
em relação a : como não depende de , dá .
Portanto,
Passo 4
Agora calculo a derivada parcial dessa expressão em relação a
para obter
:
- Derivada de
em relação a : é constante em , então dá . - Derivada de
em relação a : aqui é constante (porque derivamos em ), então aplica-se a regra de potência a : .
Logo
Passo 5
Verificação calculando na ordem inversa (
e depois
):
- Primeiro
: -
. -
. -
.
Então
-
- Agora
dessa expressão: -
. -
.
-
Portanto
Isto confirma que
. (Isto era de esperar: a função é polinomial e tem derivadas contínuas, então as derivadas mistas coincidem.)
Passo 6
Dica prática para a prova: escolha a ordem que te parece mais direta (normalmente derivar primeiro em relação à variável que aparece menos misturada facilita). Polinômios são tranquilos — trate a variável não diferenciada como constante e aplique regra de potência. Respire fundo e faça termo a termo; funciona sempre.