Utilizando o Teorema de Green, calcule a área das regiões D, onde:
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1 \text { e } y \geq 1 / 2\right\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região D definida por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x^{2}+y^{2}\leq 1 \text{ e } y\geq 1/2\}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\begin{aligned} &\text{(i)}\\ \text{A região está dentro do círculo unidade } x^{2}+y^{2}\leq 1.\\\ &\text{(ii)}\\ \text{A região está limitada abaixo pela reta } y=1/2.\\\ &\text{(iii)}\\ \text{Portanto o contorno } \partial D \text{ é formado por:}\\\ &\qquad\text{— um arco do círculo } x^{2}+y^{2}=1 \text{ com } y\geq 1/2,\\\ &\qquad\text{— o segmento de reta (corda) na linha } y=1/2 \text{ que une os dois pontos de interseção.} \end{aligned}
O objetivo final é fornecer a área de D (um único número ou expressão).
Passo 2
Vamos transformar o problema de área numa integral de linha usando uma identidade obtida a partir do teorema de Green (a explicação será detalhada para você entender bem).
Enunciado prático do teorema de Green (no plano): se D é uma região planar com contorno simples e orientado positivamente (no sentido anti-horário) e P(x,y),Q(x,y) são funções com derivadas parciais contínuas, então
Explicando: aqui x e y são as coordenadas no plano; dx e dy são as variações infinitesimais ao percorrermos o contorno \partial D. Agora vamos aplicar essa fórmula parametrizando cada parte de \partial D.
Passo 3
Descrevendo o contorno \partial D\) com orientação positiva (anti-horária):
\[\partial D = \Gamma_{\text{arco}} \cup \Gamma_{\text{corda}},
onde \Gamma_{\text{arco}} é o arco do círculo unidade com y\geq 1/2 e \Gamma_{\text{corda}} é o segmento de reta y=1/2 que une as interseções.
Precisamos dos pontos de interseção entre o círculo x^{2}+y^{2}=1 e a reta y=1/2. Substituindo y=1/2 em x^{2}+y^{2}=1 obtemos
Parametrização do arco do círculo (sentido anti-horário): usar o parâmetro angular t, com a parametrização padrão do círculo unidade
x=\cos t,\qquad y=\sin t.
No círculo unidade, \sin t=\tfrac{1}{2} ocorre em t=\tfrac{\pi}{6} e t=\tfrac{5\pi}{6}. Para y\geq\tfrac{1}{2} tomamos t variando de \tfrac{\pi}{6} até \tfrac{5\pi}{6}. Assim
Parametrização da corda (segmento na reta (y=\tfrac{1}{2}]) com orientação para direita (para fechar o contorno anti-horário): \Gamma_{\text{corda}}:\quad \begin{cases} x(s)=s,\\[4pt] y(s)=\tfrac{1}{2},\\[4pt] s\in\left[-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right]. \end{cases}]
Passo 4
Calcule a integral de linha sobre o arco usando a fórmula
Uma interpretação rápida para conferir: isso corresponde à área de um setor circular de ângulo \tfrac{2\pi}{3} (que teria área \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{3}) menos a área do triângulo isósceles formado pela corda (que tem área \tfrac{\sqrt{3}}{4}); faz sentido geométrico e bate com o resultado obtido por Greens.