Utilizando o Teorema de Green, calcule a área das regiões
, onde:
Passo 1
O enunciado pede a área da região
definida por
Informações relevantes que o enunciado dá:
significa que estamos dentro do disco unitário de centro na origem.
está restrito ao intervalo
, ou seja, cortamos o disco por duas retas horizontais
e
.
A pergunta é: qual é a área do conjunto de pontos do disco que têm coordenada entre esses dois valores?
A pergunta é: qual é a área do conjunto de pontos do disco que têm coordenada
Passo 2
Vamos usar o Teorema de Green para relacionar área com uma integral de linha. Primeiro, enunciado curto do que precisamos do Teorema de Green:
Para obter a área de
usamos que a área é
. Escolhemos
e
de modo que
. Uma escolha simples é
e
, pois
Aplicando Green:
Portanto a área de
pode ser calculada pela integral de linha
(Isto é uma fórmula padrão; eu acabei de deduzi‑la com o Teorema de Green.)
Passo 3
Em vez de parametrizar toda a fronteira
(o que é perfeitamente possível, mas dá várias peças: dois segmentos horizontais e duas arcos circulares), é mais prático transformar a integral dupla em uma integral simples em
. A igualdade
é válida e foi garantida pelo Teorema de Green acima; então calculamos a área diretamente por integração em coordenadas cartesianas em “fatias” horizontais.
Para um
fixo com
, os pontos do disco satisfazem
Logo a área é
Aqui eu usei a ideia de “fatias”: para cada
a largura horizontal do disco vale
, e somamos (integramos) essas larguras ao longo de
.
Passo 4
Calcular a integral
Fazemos a substituição trigonométrica clássica
. Então
e
(tomando
no intervalo de interesse). Precisamos trocar os limites em
para
:
Substituindo:
Usamos a identidade
, então
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
Avaliamo entre
e
:
Para :
Para :
Subtraindo:
Para
Para
Subtraindo: