Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
(a)
Passo 1
O enunciado dá a expressão booleana
e pede para simplificá‑la usando teoremas (foi dada a identidade
como lembrete). Informações úteis extraídas do enunciado:
- O símbolo
é o XOR: . - O símbolo
é AND, ou seja . - As barras são negação:
é o complemento de .
O objetivo é reduzir a expressão usando identidades algébricas booleanas (distributiva, absorção, De Morgan, etc.). Não vou fazer mudanças fora do que o enunciado permite.
Passo 2
Expandir os operadores compostos para trabalhar com soma de produtos. Substituindo o XOR e
obtemos
Agora agrupe os termos já explícitos:
Passo 3
Eliminar termos redundantes por absorção. Observe o par
fatorando
:
pois
. Logo o termo
é absorvido por
e pode ser retirado. A expressão vira
Passo 4
Fatorar termos envolvendo
para ver uma simplificação global. Agrupando os termos com
:
Então podemos escrever
Neste ponto é útil notar (argumento lógico): se
então
para qualquer
(pois ou
ou
e se
então
mas
ou
garantem que a expressão fica 1 — a forma algébrica a seguir é mais direta). Uma forma prática e segura é usar a identidade
porque se
então
, e se
o valor de
é o que sobra com
. Vamos aplicar isso.
Passo 5
Calcular
com
(ou seja
). Substituindo
na expressão original (ou na forma já simplificada) os termos com
vão a zero, restando:
Portanto, usando a decomposição condicional mencionada,
Passo 6
Voltar a escrever o
explicitamente (se desejar em soma de produtos) e agrupar onde for conveniente:
Agrupando os dois produtos que têm
como fator:
Então uma forma compacta é
Passo 7
Interpretar se há mais absorções possíveis. Note que não existe um termo simples
para absorver
pela lei
. Também
não é absorvido por
nem por
de forma geral. Assim a expressão já está reduzida em relação à original: todos os termos com
foram compactados em um único
, e os demais foram escritos na forma mínima evidente sem perda de cobertura lógica.