Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
(b)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede simplificar a expressão
- Pede também (b) demonstrar a identidade
- Observações sobre notação (peguei isto do enunciado):
é negação de ; é AND; é OR; é XOR; representa AND (ou seja ).
Nada mais foi dado explicitamente.
Passo 2
Relembrando teoremas e fatos básicos que vou usar (mini-aula rápida e direta):
- Definições/fatos:
-
é AND; é OR; é NOT. -
(idempotência). -
(idempotência). -
e (complemento). - Distributiva:
. - Absorção:
e . - Consenso:
(pode ser útil para eliminar termos redundantes).
-
- Expansão do XOR:
- Notação: vou escrever AND sem o ponto quando ficar mais claro, por exemplo
em lugar de .
Passo 3
Primeira transformação: expandir o XOR e interpretar
como AND; substituir na expressão.
Substituindo:
Passo 4
Eliminar termo redundante usando
.
O termo é um produto que contém
como fator parcial, porque
O termo
portanto
(mais direto:
). Assim o último termo é absorvido por
e pode ser removido.
Agora
Agora
Passo 5
Agrupar termos com fatores comuns para ficar mais organizado e facilitar novas absorções.
- Agrupo os termos com
:
- Agrupo os termos com
:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida se algum termo ainda é óbvio redundante (checagem via ideias de cobertura):
- O termo
não está totalmente coberto por , pois pode ocorrer com e ; nesse caso mas . Logo é necessário. - O termo
cobre os casos em que e pelo menos uma das negações ou vale 1. - Portanto a forma obtida não apresenta redundância óbvia e está mais compacta que a original.
Passo 7
Apresento a forma final simplificada (forma factorizada, clara e prática para usar na prova):
(esta expressão é equivalente à original e é mais curta / organizada).
Passo 8
Comentário pedagógico rápido — como usar essa forma na prova:
- Se precisar de soma de produtos (SOP) expanda os parênteses:
. - Se precisar de produto de somas (POS) ou minimização por mapas de Karnaugh, a forma fatorada ajuda a identificar agrupamentos e termos consensuais.
Passo 9
Agora a parte (b): provar
. Vou fazer passo a passo usando as regras básicas.
Começo aplicando distributiva:
Começo aplicando distributiva:
Usando idempotência
, isso vira
Agora aplico a absorção
(porque
). Logo