Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
\mathrm{F}=\bar{X} . Z+(X \oplus W)+X . \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X} . Y . \bar{W} . Z
(b) X(X+Y)=X

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede simplificar a expressão
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z+(X \oplus W)+X\cdot \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X}\cdot Y\cdot \bar{W}\cdot Z.
  • Pede também (b) demonstrar a identidade
X(X+Y)=X.
  • Observações sobre notação (peguei isto do enunciado): \bar{X} é negação de X; \cdot é AND; + é OR; X\oplus W é XOR; W\odot Z representa AND (ou seja WZ).
    Nada mais foi dado explicitamente.

Passo 2

Relembrando teoremas e fatos básicos que vou usar (mini-aula rápida e direta):
  • Definições/fatos:
    • A\cdot B é AND; A+B é OR; \bar{A} é NOT.
    • A+A=A (idempotência).
    • A\cdot A=A (idempotência).
    • A+\bar{A}=1 e A\cdot\bar{A}=0 (complemento).
    • Distributiva: A(B+C)=AB+AC.
    • Absorção: A + AB = A e A(A+B)=A.
    • Consenso: AB + A' C + BC = AB + A' C (pode ser útil para eliminar termos redundantes).
  • Expansão do XOR: X\oplus W = X\bar{W} + \bar{X}W.
  • Notação: vou escrever AND sem o ponto quando ficar mais claro, por exemplo WZ em lugar de W\cdot Z.

Passo 3

Primeira transformação: expandir o XOR e interpretar \odot como AND; substituir na expressão.
X\oplus W = X\bar{W} + \bar{X}W,\qquad W\odot Z = WZ.
Substituindo:
\mathrm{F}=\bar{X}Z + \bigl(X\bar{W} + \bar{X}W\bigr) + X\bar{Y} + WZ + \bar{X}Y\bar{W}Z.

Passo 4

Eliminar termo redundante usando A + A B = A.
O termo \bar{X}Y\bar{W}Z é um produto que contém \bar{X}Z como fator parcial, porque
\bar{X}Z = \bar{X}Z(1) = \bar{X}Z\bigl(Y\bar{W} + \text{outros termos}\bigr),
portanto \bar{X}Z + \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z (mais direto: \bar{X}Z + \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z(1 + Y\bar{W}) = \bar{X}Z). Assim o último termo é absorvido por \bar{X}Z e pode ser removido.
Agora
\mathrm{F}=\bar{X}Z + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y} + WZ.

Passo 5

Agrupar termos com fatores comuns para ficar mais organizado e facilitar novas absorções.
  • Agrupo os termos com \bar{X}:
\bar{X}W + \bar{X}Z = \bar{X}(W+Z).
  • Agrupo os termos com X:
X\bar{W} + X\bar{Y} = X(\bar{W} + \bar{Y}).
Portanto
\mathrm{F} = X(\bar{W}+\bar{Y}) + \bar{X}(W+Z) + WZ.

Passo 6

Verificação rápida se algum termo ainda é óbvio redundante (checagem via ideias de cobertura):
  • O termo WZ não está totalmente coberto por \bar{X}(W+Z), pois WZ pode ocorrer com X=1 e W=1,Z=1; nesse caso \bar{X}(W+Z)=0 mas WZ=1. Logo WZ é necessário.
  • O termo X(\bar{W}+\bar{Y}) cobre os casos em que X=1 e pelo menos uma das negações \bar{W} ou \bar{Y} vale 1.
  • Portanto a forma obtida não apresenta redundância óbvia e está mais compacta que a original.

Passo 7

Apresento a forma final simplificada (forma factorizada, clara e prática para usar na prova):
\boxed{\mathrm{F} = X(\bar{W}+\bar{Y}) + \bar{X}(W+Z) + WZ.}
(esta expressão é equivalente à original e é mais curta / organizada).

Passo 8

Comentário pedagógico rápido — como usar essa forma na prova:
  • Se precisar de soma de produtos (SOP) expanda os parênteses: X\bar{W}+X\bar{Y}+\bar{X}W+\bar{X}Z+WZ.
  • Se precisar de produto de somas (POS) ou minimização por mapas de Karnaugh, a forma fatorada ajuda a identificar agrupamentos e termos consensuais.

Passo 9

Agora a parte (b): provar X(X+Y)=X. Vou fazer passo a passo usando as regras básicas.
Começo aplicando distributiva:
X(X+Y)=XX + XY.
Usando idempotência XX = X, isso vira
XX + XY = X + XY.
Agora aplico a absorção X + XY = X (porque X + XY = X(1 + Y) = X\cdot 1 = X). Logo
X(X+Y)=X.

Resposta

\mathrm{F} = X(\bar{W}+\bar{Y}) + \bar{X}(W+Z) + WZ
X(X+Y)=X

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